contrôle du 08 janvier 2009

Corrigé de l'exercice 1

Soit ABCD un tétraèdre, L et M les points tels que  $\overrightarrow{AL}={\displaystyle \frac{1}{3}}\overrightarrow{AB}+{\displaystyle \frac{1}{5}}\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{AM}={\displaystyle \frac{1}{3}}\overrightarrow{AD}+{\displaystyle \frac{1}{5}}\overrightarrow{AC}$.

1. Placer les points L et M.

2. Montrer que les droites (LM) et (BD) sont parallèles.

   $$\begin{array}{lll}\overrightarrow{LM}& =& \overrightarrow{LA}+\overrightarrow{AM}\\ & =& -{\displaystyle \frac{1}{3}}\overrightarrow{AB}-{\displaystyle \frac{1}{5}}\overrightarrow{AC}+{\displaystyle \frac{1}{3}}\overrightarrow{AD}+{\displaystyle \frac{1}{5}}\overrightarrow{AC}\\ & =& {\displaystyle \frac{1}{3}}\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}\right)\\ & =& {\displaystyle \frac{1}{3}}\overrightarrow{BD}\end{array}$$

   Les vecteurs $\overrightarrow{LM}$ et $\overrightarrow{BD}$ sont colinéaires donc les droites (LM) et (BD) sont parallèles.

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3. Soit K le milieu du segment [AC], les points B, K et M sont-ils un alignés ?

   $$\begin{array}{llll}& \overrightarrow{BK}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AK}& \text{ et}& \overrightarrow{BM}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AM}\\ \text{Soit}& \overrightarrow{BK}=-\overrightarrow{AB}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\overrightarrow{AC}& \text{ et}& \overrightarrow{BM}=-\overrightarrow{AB}+{\displaystyle \frac{1}{3}}\overrightarrow{AD}+{\displaystyle \frac{1}{5}}\overrightarrow{AC}\end{array}$$

   Or ABCD est un tétraèdre donc les vecteurs $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{AD}$ ne sont pas coplanaires. Par conséquent, il n'existe pas de réel k tel que $\overrightarrow{BK}=k\overrightarrow{BM}$ .

   Dans le repère $\left(A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}\right)$ , les vecteurs $\overrightarrow{BK}$ et $\overrightarrow{BM}$ ont pour coordonnées $\overrightarrow{BK}\left(-1;{\displaystyle \frac{1}{2}};0\right)$ et $\overrightarrow{BM}\left(-1;{\displaystyle \frac{1}{5}};{\displaystyle \frac{1}{3}}\right)$ .

   Les vecteurs $\overrightarrow{BK}$ et $\overrightarrow{BM}$ ne sont pas colinéaires donc les points B, K et M ne sont pas alignés.

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