contrôle du 08 janvier 2009

Corrigé de l'exercice 3

Dans l 'espace muni d'un repère orthonormé $(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{ȷ},\overrightarrow{k})$. On considère les points $A\left(-1;4;-3\right)$, $B\left(2;-2;3\right)$, $C\left(1;0;1\right)$, $D\left(1;-2;-1\right)$ et $E\left(-1;3;-4\right)$.

1. Les points A, B et C sont-ils alignés ?

   Calculons les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ :$$\begin{array}{lll}\overrightarrow{AB}\left(x_B-x_A;y_B-y_A;z_B-z_A\right)& \text{soit}& \overrightarrow{AB}\left(3;-6;6\right)\\ \overrightarrow{AC}\left(x_C-x_A;y_C-y_A;z_C-z_A\right)& \text{soit}& \overrightarrow{AC}\left(2;-4;4\right)\end{array}$$

   D'où $$\overrightarrow{AB}={\displaystyle \frac{3}{2}}\overrightarrow{AC}$$

   Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires donc les points A, B et C sont alignés.

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2. Montrer que les points A, D et E déterminent un plan.

   Calculons les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{AE}$ :

   $$\begin{array}{lll}\overrightarrow{AD}\left(x_D-x_A;y_D-y_A;z_D-z_A\right)& \text{soit}& \overrightarrow{AD}\left(2;-6;2\right)\\ \overrightarrow{AE}\left(x_E-x_A;y_E-y_A;z_E-z_A\right)& \text{soit}& \overrightarrow{AE}\left(0;-1;-1\right)\end{array}$$

   Il n'existe pas de réel k tel que $\overrightarrow{AD}=k\overrightarrow{AE}$ donc les vecteurs $\overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{AE}$ ne sont pas colinéaires.

   Par conséquent, les points A, D et E ne sont pas alignés, ils déterminent donc un plan.

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3. Les points A, C, D et E sont-ils coplanaires ? Qu'en est-il des points A, B, C, D et E ?

   • Pour déterminer si les points A, C, D et E sont dans un même plan, on cherche s'il existe deux réels a et b tels que $$\overrightarrow{AC}=a\overrightarrow{AD}+b\overrightarrow{AE}$$

     a et b sont solutions de : $$\begin{array}{lll}\{\begin{array}{rrr}2a& =& 2\\ -6a-b& =& -4\\ 2a-b& =& 4\end{array}& \iff & \{\begin{array}{rrr}a& =& 1\\ b& =& -2\\ 2a-b& =& 4\end{array}\end{array}$$

     Comme $2\times 1-\left(-2\right)=-4$, nous avons :$$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}-2\overrightarrow{AE}$$

     Les vecteurs $\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{AE}$ sont coplanaires donc les points A, C, D et E sont dans un même plan.

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   • La droite (AC) est une droite du plan (ADE) et B est un point de la droite (AC) donc :

     les points A, B, C, D et E sont dans un même plan.

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4. Déterminer les coordonnées du point H tel que $\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{BH}=9\overrightarrow{𝚤}$ .

   Notons $H\left(x;y;z\right)$ les coordonnées du point H. Les vecteurs $\overrightarrow{AH}$ , $\overrightarrow{BH}$ et $9\overrightarrow{𝚤}$ ont pour coordonnées : $$\begin{array}{ccccc}\overrightarrow{AH}\left(x+1;y-4;z+3\right)& \text{,}& \overrightarrow{BH}\left(x-2;y+2;z-3\right)& \text{et}& 9\overrightarrow{𝚤}\left(9;0;9\right)\end{array}$$

   Par conséquent, $$\begin{array}{lllll}\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{BH}=9\overrightarrow{𝚤}& \iff & \{\begin{array}{rrr}\left(x+1\right)+\left(x-2\right)& =& 9\\ \left(y-4\right)+\left(y+2\right)& =& 0\\ \left(z+3\right)+\left(z-3\right)& =& 0\end{array}& \iff & \{\begin{array}{rrr}x& =& 5\\ y& =& 1\\ z& =& 0\end{array}\end{array}$$

   Le point H a pour coordonnées : $H\left(5;1;0\right)$

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5. Montrer que la droite (CH) est perpendiculaire au plan (ADE).

   Les vecteurs $\overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{AE}$ ne sont pas colinéaires par conséquent, la droite (CH) est perpendiculaire au plan (ADE) si, et seulement si, le vecteur $\overrightarrow{CH}$ est orthogonal aux vecteurs $\overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{AE}$.

   Or d'après le théorème :

   Dans un repère orthonormé $(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{ȷ},\overrightarrow{k})$, les vecteurs $\overrightarrow{u}\left(x;y;z\right)$ et $\overrightarrow{v}\left(x\text{'};y\text{'};z\text{'}\right)$ sont orthogonaux si et seulement si : $$xx\text{'}+yy\text{'}+zz\text{'}=0$$

   Les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{AE}$ sont $\overrightarrow{AD}\left(2;-6;2\right)$ et $\overrightarrow{AE}\left(0;-1;-1\right)$. Calculons les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{CH}$ :$$\begin{array}{lll}\overrightarrow{CH}\left(x_H-x_C;y_H-y_C;z_H-z_C\right)& \text{soit}& \overrightarrow{CH}\left(4;1;-1\right)\end{array}$$

   Nous avons $$\begin{array}{rl}4\times 2-6-2=0& \text{donc }\overrightarrow{CH}\text{ et }\overrightarrow{AD}\text{ sont orthogonaux}\\ 4\times 0-1+1=0& \text{donc }\overrightarrow{CH}\text{ et }\overrightarrow{AE}\text{ sont orthogonaux}\end{array}$$

   Le vecteur $\overrightarrow{CH}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (ADE) donc la droite (CH) est perpendiculaire au plan (ADE).

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