contrôle du 08 janvier 2009

exercice 1

Soit ABCD un tétraèdre, L et M les points tels que  $\overrightarrow{AL}={\displaystyle \frac{1}{3}}\overrightarrow{AB}+{\displaystyle \frac{1}{5}}\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{AM}={\displaystyle \frac{1}{3}}\overrightarrow{AD}+{\displaystyle \frac{1}{5}}\overrightarrow{AC}$.

1. Placer les points L et M.

2. Montrer que les droites (LM) et (BD) sont parallèles.

3. Soit K le milieu du segment [AC], les points B, K et M sont-ils un alignés ?

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exercice 2

Dans l'espace muni d'un repère $(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{ȷ},\overrightarrow{k})$ , on considère le pavé droit OABCDEFG.

1. Lire les coordonnées des points E et G.

2. Placer le point P de coordonnées $\left(5;8;6\right)$ dans le repère précédent.

3. La cote du point M est égale à 5, quels sont les coordonnées du point M ?

4. N est un point du plan (BCG), lire les coordonnées du point N.

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exercice 3

Dans l 'espace muni d'un repère orthonormé $(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{ȷ},\overrightarrow{k})$. On considère les points $A\left(-1;4;-3\right)$, $B\left(2;-2;3\right)$, $C\left(1;0;1\right)$, $D\left(1;-2;-1\right)$ et $E\left(-1;3;-4\right)$.

1. Les points A, B et C sont-ils alignés ?

2. Montrer que les points A, D et E déterminent un plan.

3. Les points A, C, D et E sont-ils coplanaires  ? Qu'en est-il des points A, B, C, D et E ?

4. Déterminer les coordonnées du point H tel que $\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{BH}=9\overrightarrow{𝚤}$.

5. Montrer que la droite (CH) est perpendiculaire au plan (ADE).

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