contrôle du 14 mai 2012

Corrigé de l'exercice 1

Un bijoutier propose des perles de culture pour fabriquer des bijoux.
60 % des perles disponibles dans son stock sont argentées et les autres perles sont noires.
Le bijoutier choisit dans son stock dix perles au hasard et de manière indépendante. On admet que le nombre de perles est suffisamment grand pour que le choix d'une perle soit assimilé à un tirage avec remise.
Soit X la variable aléatoire associée au nombre de perles argentées choisies.

Toutes les probabilités seront données sous forme décimale arrondie à 10^{− 3} près

1. Quelle est la loi de probabilité de X ?

   Le nombre de perles est suffisamment grand pour que le choix d'une perle soit assimilé à un tirage avec remise donc :

   la loi de probabilité associée au nombre de perles argentées est une loi binomiale $ℬ\left(10;\mathrm{0,6}\right)$ de paramètres $n=10$ et $p=\mathrm{0,6}$.

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2. Calculer la probabilité que toutes les perles choisies soient argentées.

   $$P\left(X=10\right)={\mathrm{0,6}}^{10}\approx \mathrm{0,006}$$

   Arrondie à 10^{− 3} près, la probabilité que toutes les perles choisies soient argentées est 0,006.

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3. Calculer la probabilité que la moitié des perles choisies soient argentées.

   À l'aide de la calculatrice :$$P\left(X=5\right)=\left(\begin{array}{c}10\\ 5\end{array}\right)\times {\mathrm{0,6}}^5\times {\left(1-\mathrm{0,6}\right)}^4\approx \mathrm{0,2}$$

   Arrondie à 10^{− 3} près, la probabilité que la moitié des perles choisies soient argentées est 0,2.

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4. Calculer la probabilité qu'il y ait au moins deux perles argentées.

   À l'aide de la calculatrice :$$P\left(X⩾2\right)=1-P\left(X⩽1\right)\approx \mathrm{0,998}$$

   Arrondie au millième près, la probabilité que dans cet échantillon il y a au moins 41 actifs est 0,074.

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