contrôles en première ES

contrôle du 14 mai 2012

Corrigé de l'exercice 2

La société « Vélibre », spécialisée dans la location de vélos, a été créée en janvier 2010 avec un parc de 150 vélos neufs.
Afin de conserver un parc de bonne qualité, le directeur de la société a décidé :

de racheter 40 vélos neufs en janvier de chaque année ;
de revendre 20% des vélos en janvier 2011 et en janvier 2012 ;
de revendre 20% au moins des vélos les plus usagés en janvier de chaque année suivante.

Déterminer le nombre de vélos du parc pour janvier 2011 et janvier 2012.
- En janvier 2011, la société conserve 80% des 150 vélos et rachéte 40 vélos neufs. Le nombre de vélos du parc en janvier 2011 est donc égal à : $150 \times 0,8 + 40 = 160$
- En janvier 2012, la société conserve 80% des 160 vélos et rachéte 40 vélos neufs. Le nombre de vélos du parc en janvier 2012 est donc égal à : $160 \times 0,8 + 40 = 168$
Il y avait 160 vélos en janvier 2011 et 168 vélos en janvier 2012.

Pour tout nombre entier naturel n, on modélise le nombre approximatif de vélos du parc en janvier de l'année 2010 + n par les termes de la suite $(U_{n})$ définie pour tout nombre entier naturel n par $\begin{matrix} U_{n + 1} = 0,8 U_{n} + 40 & et & U_{0} = 150 \end{matrix}$

Pour connaître l'évolution du nombre approximatif de vélos du parc, le directeur utilise un tableur. Voici un extrait de sa feuille de calcul :

	A	B	C	D	E
1	Valeur de n	Valeur de $U_{n}$		Valeur de n	Valeur de $U_{n}$
2	0	150		18	199,10
3	1	160		19	199,28
4	2	168		20	199,42
5	3	174,4		21	199,54
6	4	179,52		22	199,63
7	5	183,62		23	199,70
8	6	186,89		24	199,76
9	7	189,51		25	199,81
10	8	191,61		26	199,85
11	9	193,29		27	199,88
12	10	194,63		28	199,90
13	11	195,71		29	199,92
15	12	196,56		30	199,94

Conjecturer le sens de variation de la suite $(U_{n})$ .

La suite $(U_{n})$ semble être croissante.

Pour tout nombre entier naturel n, on pose $V_{n} = U_{n} - 200$ .
Prouver que la suite $(V_{n})$ est géométrique de raison 0,8. Déterminer son premier terme.
Pour tout entier naturel n, $\begin{matrix} V_{n + 1} = U_{n + 1} - 200 & \Leftrightarrow & V_{n + 1} = 0,8 U_{n} + 40 - 200 \\ \Leftrightarrow & V_{n + 1} = 0,8 U_{n} - 160 \\ \Leftrightarrow & V_{n + 1} = 0,8 \times (U_{n} - 200) \\ \Leftrightarrow & V_{n + 1} = 0,8 V_{n} \end{matrix}$
Ainsi, pour tout entier naturel n, $V_{n + 1} = 0,8 V_{n}$ donc $(V_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,8. D'autre part $\begin{matrix} V_{0} = U_{0} - 200 & Soit & V_{0} = 150 - 200 = - 50 \end{matrix}$
$(V_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,8 et de premier terme $V_{0} = - 50$
En déduire, pour tout nombre entier naturel n, l'expression de $V_{n}$ puis celle de $U_{n}$ en fonction du nombre entier n.
$(V_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,8 et de premier terme $V_{0} = - 50$ alors pour tout nombre entier naturel n, $V_{n} = - 50 \times {0,8}^{n}$
D'où pour tout nombre entier naturel n, $\begin{matrix} U_{n} - 200 = - 50 \times {0,8}^{n} & \Leftrightarrow & U_{n} = 200 - 50 \times {0,8}^{n} \end{matrix}$
La suite $(U_{n})$ est définie pour tout nombre entier naturel n par $U_{n} = 200 - 50 \times {0,8}^{n}$
Démontrer que, pour tout nombre entier naturel n, on a $U_{n + 1} - U_{n} = 10 \times {0,8}^{n}$
Pour tout entier naturel n, $\begin{matrix} U_{n + 1} - U_{n} & = & (200 - 50 \times {0,8}^{n + 1}) - (200 - 50 \times {0,8}^{n}) \\ = & - 50 \times {0,8}^{n + 1} + 50 \times {0,8}^{n} \\ = & - 50 \times 0,8 \times {0,8}^{n} + 50 \times {0,8}^{n} \\ = & - 40 \times {0,8}^{n} + 50 \times {0,8}^{n} \\ = & 10 \times {0,8}^{n} \end{matrix}$
Ainsi, pour tout entier naturel n, on a $U_{n + 1} - U_{n} = 10 \times {0,8}^{n}$ .
En déduire le sens de variation de la suite $(U_{n})$ .
Pour tout entier naturel n, on a $U_{n + 1} - U_{n} = 10 \times {0,8}^{n}$ donc pour tout entier naturel n, $U_{n + 1} - U_{n} > 0$
Pour tout entier naturel n, on a $U_{n + 1} - U_{n} > 0$ . Donc la suite $(U_{n})$ est strictement croissante.

Rechercher des exercices regoupés par thème

programme antérieur à 2019 :

[ Accueil ]

Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.