contrôle du 04 avril 2007

Corrigé de l'exercice 1

partie a

1. Étudier le signe du polynôme $P\left(X\right)=-8X^2+2X+1$ où X est un réel.

   $P\left(X\right)$ est une fonction polynôme du second degré avec $a=-8\text{, }b=2\text{, }c=1$. Le discriminant du trinôme $\mathrm{\Delta }=4-4\times \left(-8\right)\times 1=36$

   $\mathrm{\Delta }>0$ le trinôme est donc du signe de a à l'extérieur des racines et du signe contraire entre les racines.

   Les racines du trinôme sont : $$\begin{array}{lll}{X}_1={\displaystyle \frac{-2-6}{-16}}={\displaystyle \frac{1}{2}}& \text{ et }& X_2={\displaystyle \frac{-2+6}{-16}}=-{\displaystyle \frac{1}{4}}\end{array}$$

   D'autre part $a<0$, d'où le tableau du signe du trinôme :

   x	$-\infty$		$-{\displaystyle \frac{1}{4}}$		${\displaystyle \frac{1}{2}}$		$+\infty$
   $-8x^2+2x+1$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−

   ---

2. Soit g la fonction définie sur $ℝ$ par : $g\left(x\right)=-8{\mathrm{e}}^x+{\mathrm{e}}^{-x}+2$.

   1. Montrer que pour tout réel x, $g\left(x\right)={\displaystyle \frac{-8{\mathrm{e}}^{2x}+2{\mathrm{e}}^x+1}{{\mathrm{e}}^x}}$

      Pour tout réel x, $$\begin{array}{lll}-8{\mathrm{e}}^x+{\mathrm{e}}^{-x}+2& =& -8{\mathrm{e}}^x+{\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{e}}^x}}+2\\ & =& {\displaystyle \frac{-8{\mathrm{e}}^x\times {\mathrm{e}}^x+1+2{\mathrm{e}}^x}{{\mathrm{e}}^x}}\\ & =& {\displaystyle \frac{-8{\mathrm{e}}^{2x}+2{\mathrm{e}}^x+1}{{\mathrm{e}}^x}}\end{array}$$

      Ainsi, pour tout réel x, $g\left(x\right)={\displaystyle \frac{-8{\mathrm{e}}^{2x}+2{\mathrm{e}}^x+1}{{\mathrm{e}}^x}}$

      ---

   2. Résoudre dans $ℝ$ l'équation : $-8{\mathrm{e}}^{2x}+2{\mathrm{e}}^x+1=0$ , en déduire les solutions de l'équation $g\left(x\right)=0$.

      Posons $X={\mathrm{e}}^x$, avec $X>0$ . L'équation s'écrit alors : $-8X^2+2X+1=0$.

      Comme une exponentielle est toujours strictement positive seule la solution obtenue dans la première question $X_1={\displaystyle \frac{1}{2}}$ convient. Ainsi :$$\begin{array}{ccccc}{\mathrm{e}}^x={\displaystyle \frac{1}{2}}& \iff & \ln \left({\mathrm{e}}^x\right)=\ln \left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)& \iff & x=-\ln 2\end{array}$$

      L'équation : $-8{\mathrm{e}}^{2x}+2{\mathrm{e}}^x+1=0$ admet une seule solution $x=-\ln 2$.

      ---

      D'autre part, $$\begin{array}{lllll}g\left(x\right)=0& \iff & {\displaystyle \frac{-8{\mathrm{e}}^{2x}+2{\mathrm{e}}^x+1}{{\mathrm{e}}^x}}=0& \iff & -8{\mathrm{e}}^{2x}+2{\mathrm{e}}^x+1=0\end{array}$$

      L'équation : $g\left(x\right)=0$ admet une seule solution $x=-\ln 2$.

      ---

   3. Étudier le signe de la fonction g sur $ℝ$.

      $g\left(x\right)={\displaystyle \frac{-8{\mathrm{e}}^{2x}+2{\mathrm{e}}^x+1}{{\mathrm{e}}^x}}$ comme ${\mathrm{e}}^x>0$ alors $g\left(x\right)$ est du même signe que $-8{\mathrm{e}}^{2x}+2{\mathrm{e}}^x+1$.

      Posons $X={\mathrm{e}}^x$, avec $X>0$ . L'expression $-8{\mathrm{e}}^{2x}+2{\mathrm{e}}^x+1$ s'écrit : $-8X^2+2X+1$.

      Comme une exponentielle est toujours strictement positive le signe de l'expression $-8{\mathrm{e}}^{2x}+2{\mathrm{e}}^x+1$ se déduit du signe du trinôme $P\left(x\right)$ sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$.

      En effet, d 'après la première question, les racines du trinôme sont : $$\begin{array}{lll}{X}_1={\displaystyle \frac{1}{2}}& \text{ et }& X_2=-{\displaystyle \frac{1}{4}}\end{array}$$

      Le polynôme $P\left(x\right)$ se factorise en $-8\left(X+{\displaystyle \frac{1}{4}}\right)\left(X-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)$ . D'où $$\begin{array}{ccc}-8{\mathrm{e}}^{2x}+2{\mathrm{e}}^x+1& =& -8\left({\mathrm{e}}^x+{\displaystyle \frac{1}{4}}\right)\left({\mathrm{e}}^x-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)\end{array}$$

      On étudie le signe de chaque facteur :

      Or ${\mathrm{e}}^x>0$ , d'où ${\mathrm{e}}^x+{\displaystyle \frac{1}{4}}>0$ pour tout x. Donc $-8\left({\mathrm{e}}^x+{\displaystyle \frac{1}{4}}\right)<0$ pour tout x.

      Pour étudier le signe de ${\mathrm{e}}^x-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ , on résout $$\begin{array}{ccccccc}{\mathrm{e}}^x-{\displaystyle \frac{1}{2}}⩾0& \iff & {\mathrm{e}}^x⩾{\displaystyle \frac{1}{2}}& \iff & \ln \left({\mathrm{e}}^x\right)⩾\ln \left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)& \iff & x⩾-\ln 2\end{array}$$

      D'où le tableau de signes :

      x	$-\infty$		$-\ln 2$		$+\infty$
      $-8\left({\mathrm{e}}^x+{\displaystyle \frac{1}{4}}\right)$		−	$|$	−
      ${\mathrm{e}}^x-{\displaystyle \frac{1}{2}}$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
      $g\left(x\right)={\displaystyle \frac{-8{\mathrm{e}}^{2x}+2{\mathrm{e}}^x+1}{{\mathrm{e}}^x}}$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−

partie b

1. Calculer les coordonnées des points A et B intersection de la courbe ${𝒞}_f$ avec les axes du repère.

   Le point $A\left(x;0\right)$ est le point d'intersection de la courbe ${𝒞}_f$ avec l'axe des abscisses. Son abscisse x est donc solution de l'équation $f\left(x\right)=0$.

   Soit $$\begin{array}{rcll}{\displaystyle \frac{8-{\mathrm{e}}^{-x}}{{\mathrm{e}}^x+1}}=0& \iff & 8-{\mathrm{e}}^{-x}=0& \\ & \iff & {\mathrm{e}}^{-x}=8& \\ & \iff & \ln \left({\mathrm{e}}^{-x}\right)=\ln 8& \\ & \iff & -x=\ln 8& \\ & \iff & x=-\ln 8& \text{Soit }x=-3\ln 2\end{array}$$

   Le point A a pour coordonnées $A\left(-3\ln 2;0\right)$.

   ---

   Le point $B\left(;0;y\right)$ est le point d'intersection de la courbe ${𝒞}_f$ avec l'axe des ordonnées. Son ordonnée est $y=f\left(0\right)$.

   Soit $$\begin{array}{lcrclll}y& =& {\displaystyle \frac{8-{\mathrm{e}}^{-0}}{{\mathrm{e}}^0+1}}& =& {\displaystyle \frac{8-1}{1+1}}& =& {\displaystyle \frac{7}{2}}\end{array}$$

   Le point B a pour coordonnées $B\left(0;\mathrm{3,5}\right)$.

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2. Étudier les limites de la fonction f en $-\infty$ et en $+\infty$. Préciser les asymptotes éventuelles à la courbe ${𝒞}_f$.

   • $\underset{x\to -\infty }{\lim }8-{\mathrm{e}}^{-x}=-\infty$ et $\underset{x\to -\infty }{\lim }{\mathrm{e}}^x+1=1$ donc par quotient $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=-\infty$

     ---

   • $\underset{x\to +\infty }{\lim }8-{\mathrm{e}}^{-x}=8$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\mathrm{e}}^x+1=+\infty$ donc par quotient :

     $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=0$ . L'axe des abscisses est asymptote à la courbe ${𝒞}_f$ en $+\infty$.

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3. Calculer $f\prime \left(x\right)$, où $f\prime$ est la dérivée de f.

   Sur $ℝ$, la fonction f est le quotient de deux fonctions dérivables. $$\begin{array}{cccc}f={\displaystyle \frac{u}{v}}& \left(v\ne 0\right)& \text{d'où}& f\prime ={\displaystyle \frac{u\prime v-uv\prime }{v^2}}\end{array}$$

   Avec u et v fonctions définies sur $ℝ$ par : $$\begin{array}{llll}& u\left(x\right)=8-{\mathrm{e}}^{-x}& \text{d'où}& u\prime \left(x\right)={\mathrm{e}}^{-x}\\ \text{et}& v\left(x\right)={\mathrm{e}}^x+1& \text{d'où}& v\prime \left(x\right)={\mathrm{e}}^x\end{array}$$

   Donc sur $ℝ$, $$\begin{array}{lll}f\prime \left(x\right)& =& {\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^{-x}\times \left({\mathrm{e}}^x+1\right)-{\mathrm{e}}^x\times \left(8-{\mathrm{e}}^{-x}\right)}{{\left({\mathrm{e}}^x+1\right)}^2}}\\ & =& {\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^0+{\mathrm{e}}^{-x}-8{\mathrm{e}}^x+{\mathrm{e}}^0}{{\left({\mathrm{e}}^x+1\right)}^2}}\\ & =& {\displaystyle \frac{-8{\mathrm{e}}^x+{\mathrm{e}}^{-x}+2}{{\left({\mathrm{e}}^x+1\right)}^2}}\end{array}$$

   Ainsi, $f\prime$ est la fonction définie sur $ℝ$ par $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{-8{\mathrm{e}}^x+{\mathrm{e}}^{-x}+2}{{\left({\mathrm{e}}^x+1\right)}^2}}$.

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4. Étudier les variations de f sur $ℝ$.

   $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{-8{\mathrm{e}}^x+{\mathrm{e}}^{-x}+2}{{\left({\mathrm{e}}^x+1\right)}^2}}={\displaystyle \frac{g\left(x\right)}{{\left({\mathrm{e}}^x+1\right)}^2}}$. Donc $f\prime$ est du même signe que g et $f\prime \left(-\ln 2\right)=0$.

   $\begin{array}{lllllll}f\left(-\ln 2\right)& =& {\displaystyle \frac{8-{\mathrm{e}}^{\ln 2}}{{\mathrm{e}}^{-\ln 2}+1}}& =& {\displaystyle \frac{8-2}{{\displaystyle \frac{1}{2}}+1}}& =& 4\end{array}$

   Tableau des variations de la fonction f

   x	$-\infty$		$-\ln 2$		$+\infty$
   Signe de $f\prime \left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
   Variations de f	$-\infty$		4		0

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5. Donner les équations des tangentes à la courbe ${𝒞}_f$ aux points d'abscisses $-3\ln 2$ et 0.

   L'équation réduite de la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point d'abscisse a est : $$y=f\prime \left(a\right)\times \left(x-a\right)+f\left(a\right)$$

   • Tangente au point d'abscisse $-3\ln 2$

     $f\left(-3\ln 2\right)=0$ et $$\begin{array}{ccccccc}f\prime \left(-3\ln 2\right)& =& {\displaystyle \frac{-8{\mathrm{e}}^{-3\ln 2}+{\mathrm{e}}^{3\ln 2}+2}{{\left({\mathrm{e}}^{-3\ln 2}+1\right)}^2}}& =& {\displaystyle \frac{-8\times {\displaystyle \frac{1}{8}}+8+2}{{\left({\displaystyle \frac{1}{8}}+1\right)}^2}}& =& {\displaystyle \frac{64}{9}}\end{array}$$

     Donc la tangente a pour équation $$\begin{array}{lll}y={\displaystyle \frac{64}{9}}\left(x+3\ln 2\right)& \iff & y={\displaystyle \frac{64}{9}}x+{\displaystyle \frac{64\ln 2}{3}}\end{array}$$

     La tangente à la courbe ${𝒞}_f$ au point A d'abscisse $-3\ln 2$ a pour équation $y={\displaystyle \frac{64}{9}}x+{\displaystyle \frac{64\ln 2}{3}}$

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   • Tangente au point d'abscisse 0

     $f\left(0\right)={\displaystyle \frac{7}{2}}$ et $$\begin{array}{ccccccc}f\prime \left(0\right)& =& {\displaystyle \frac{-8{\mathrm{e}}^0+{\mathrm{e}}^0+2}{{\left({\mathrm{e}}^0+1\right)}^2}}& =& {\displaystyle \frac{-8+1+2}{{\left(1+1\right)}^2}}& =& -{\displaystyle \frac{5}{4}}\end{array}$$

     La tangente à la courbe ${𝒞}_f$ au point B d'abscisse 0 a pour équation $y=-{\displaystyle \frac{5}{4}}x+{\displaystyle \frac{7}{2}}$

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