contrôle du 9 décembre 2006

exercice 1

1. Exprimer les nombres suivants en fonction de $\ln 2$, $\ln 3$

   $a=\ln \sqrt{18}$

   $b=\ln 72-\ln 9$

   $c=\ln \left(\sqrt{7}-1\right)+\ln \left(\sqrt{7}+1\right)$

2. Écrire les expressions proposées sous la forme $\ln A$.

   $a=\ln \mathrm{0,1}+\ln \mathrm{0,01}+\ln \mathrm{10\; 000}$

   $b=2\ln 5-3\ln 2+\ln {\displaystyle \frac{1}{10}}$

   $c=\ln {\displaystyle \frac{7}{2}}+\ln {\displaystyle \frac{2}{5}}+\ln {\displaystyle \frac{5}{4}}$

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exercice 2

Dans chaque cas, trouver une primitive F de la fonction f.

1. f est définie sur $\left]0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)=x^2-3x+{\displaystyle \frac{1}{x^2}}$.

2. f est définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{2x-1}{\sqrt{x^2-x+5}}}$.

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exercice 3

Déterminer la primitive F de la fonction f, qui vérifie la condition donnée :

f est définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)=x-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ et $F\left(-2\right)=2$.

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exercice 4

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou si elle est fausse en justifiant la réponse fournie.

1. Le nombre 3 est solution de l'équation $\ln \left(x-3\right)=0$.

2. Pour tout réel x de l'intervalle $\left]0;1\right[$, $2\ln x-\ln \left(1-x\right)=\ln {\displaystyle \frac{2x}{1-x}}$.

3. La primitive de la fonction $f:x\to {\displaystyle \frac{-1}{{\left(x-1\right)}^2}}$ sur $\left]-\infty ;1\right[$, qui prend la valeur 0 en 0, est donnée par $F\left(x\right)={\displaystyle \frac{x}{x-1}}$.

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exercice 5

Sujet bac Nouvelle Calédonie novembre 2006.

La société MERCURE vend des machines agricoles. Suite à une restructuration en 1998 elle a pu relancer sa production et ses bénéfices annuels ont évolué comme  indiqué dans le tableau suivant :

Année	1999	2000	2001	2002	2003	2004
Rang de l'année : $x_i$	0	1	2	3	4	5
Bénéfice en k€ : $y_i$	64	75	100	113	125	127

1. 1. Construire le nuage de points associé à la série statistique $\left(x_i;y_i\right)$ dans un repère orthogonal.

      Les unités graphiques seront : 2 cm pour une unité sur l'axe des abscisses ; 1 cm pour 10 unités sur l'axe des ordonnées.

   2. Donner les coordonnées du point moyen G du nuage (arrondir au dixième). Placer le point G dans le repère.

2. En première approximation, on envisage de représenter le bénéfice y comme une fonction affine du rang x de l'année.

   1. Donner une équation de la droite d'ajustement (D) obtenue par la méthode des moindres carrés (arrondir les coefficients au centième).

   2. Tracer cette droite (D) dans le repère.

   3. Quelle prévision ferait-on pour le bénéfice en 2005 avec cette approximation?

3. En observant le nuage de points, on envisage un deuxième modèle d'ajustement donné par $y=f\left(x\right)$ avec $f\left(x\right)=-2x^2+23x+63$.

   1. Étudier les variations de la fonction f sur l'intervalle $\left[0;6\right]$.

   2. Tracer la courbe représentative $\left(C_f\right)$ de la fonction f dans le repère de la question 1.

   3. Quelle prévision ferait-on pour le bénéfice en 2005 avec ce deuxième modèle d'ajustement ?

4. En réalité, le bénéfice en 2005 est en hausse de 0,9% par rapport à celui de 2004. Des deux ajustements envisagés dans les questions précédentes, quel est celui qui donnait la meilleure prévision pour le bénéfice en 2005 ?

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exercice 6

Bac Nouvelle Calédonie novembre 2004.

Soit l'équation $\left(E\right):{\displaystyle \frac{1}{x}}=x-2$ où l'inconnue est un réel de l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$.

1. Un élève a représenté sur sa calculatrice l'hyperbole d'équation $y={\displaystyle \frac{1}{x}}$ et la droite d'équation $y=x-2$

   Au vu du graphique ci-dessus obtenu à l'écran de sa calculatrice, combien l'équation (E) semble-t-elle admettre de solutions sur $\left]0;+\infty \right[$ ?

2. Un second élève considère la fonction g définie sur $\left]0;+\infty \right[$ par $g\left(x\right)=x-2-{\displaystyle \frac{1}{x}}$.

   1. Déterminer les limites de g aux bornes de l'ensemble de définition.

   2. On note $g\prime$ la fonction dérivée de g. Calculer $g\prime \left(x\right)$. Montrer que g est strictement croissante sur $\left]0;+\infty \right[$.

   3. En déduire le nombre de solutions de l'équation (E) et en donner, à l'aide de la calculatrice, un encadrement d'amplitude 10⁻².

3. Un troisième élève dit : « Je peux résoudre l'équation (E) algébriquement ».

   Justifier, en résolvant l'équation (E), que ce troisième élève a raison.

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