contrôle du 15 octobre 2011

Corrigé de l'exercice 2

Soit f une fonction définie et dérivable sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$. Sa courbe représentative notée $C_f$ est tracée ci-dessous dans le plan muni d'un repère.
Les tangentes à la courbe $C_f$ aux points A et C d'abscisses respectives 3,5 et 9 sont parallèles à l'axe des abscisses.
La tangente à la courbe $C_f$ au point $B\left(6;3\right)$ passe par le point $D\left(10;{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)$.

1. On note $f\prime$ la dérivée de la fonction f sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$. À l'aide des informations précédentes et de la figure ci-dessus, préciser :

   1. Les valeurs de $f\prime \left(\mathrm{3,5}\right)$ et $f\prime \left(6\right)$.

      • Le nombre dérivé $f\prime \left(\mathrm{3,5}\right)$ est égal au coefficient directeur de la tangente à la courbe $C_f$ au point d'abscisse 3,5. Or la tangente à la courbe $C_f$ au point au point A d'abscisse 3,5 est parallèle à l'axe des abscisses donc :

        $f\prime \left(\mathrm{3,5}\right)=0$.

        ---

      • Le nombre dérivé $f\prime \left(6\right)$ est égal au coefficient directeur de la tangente à la courbe $C_f$ au point d'abscisse 6. Or la tangente à la courbe $C_f$ au point $B\left(6;3\right)$ passe par le point $D\left(10;{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)$ donc $$f\prime \left(6\right)={\displaystyle \frac{3-\mathrm{0,5}}{6-10}}=-{\displaystyle \frac{5}{8}}$$

        Ainsi, $f\prime \left(6\right)=-{\displaystyle \frac{5}{8}}$

        ---

   2. $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)$

      Graphiquement, $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=+\infty$

      ---

2. On considère la fonction g définie par $g\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{f\left(x\right)}}$ . On note $C_g$ sa courbe représentative.

   1. Expliquer pourquoi la fonction g est définie sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$.

      La fonction inverse n'est pas définie en 0. Par conséquent, la fonction g est définie pour tout réel x tel que $f\left(x\right)\ne 0$.

      Ainsi, la fonction g est définie sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$.

      ---

   2. Déterminer les limites de la fonction g aux bornes de son intervalle de définition. Interpréter graphiquement ces résultats.

      • $\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)=0$ avec $f\left(x\right)>0$ et $\underset{X\to 0^{+}}{\lim }{\displaystyle \frac{1}{X}}=+\infty$ donc par composition des limites $\underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{1}{f\left(x\right)}}=+\infty$

        Ainsi, $\underset{x\to 0}{\lim }g\left(x\right)=+\infty$ donc la courbe $C_g$ admet pour asymptote l'axe des ordonnées.

        ---

      • $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=+\infty$ et $\underset{X\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{X}}=0$ donc par composition des limites $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{f\left(x\right)}}=0$

        Ainsi, $\underset{x\to +\infty }{\lim }g\left(x\right)=0$ donc l'axe des abscisses est asymptote à la courbe $C_g$ au voisinage de $+\infty$.

        ---

   3. Dresser le tableau de variations de la fonction g.

      La fonction g est définie sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ par $g\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{f\left(x\right)}}$ donc sur cet intervalle, les fonctions f et g ont des variations contraires :

      x	0				1,5		4		$+\infty$
      $g\left(x\right)$			$+\infty$						0

   4. Donner une équation de la tangente T à la courbe $C_g$ au point d'abscisse 6.

      La fonction g est dérivable sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ et pour tout réel $x>0$, $$g\prime \left(x\right)=-{\displaystyle \frac{f\prime \left(x\right)}{{\left[f\left(x\right)\right]}^2}}$$

      La tangente T à la courbe $C_g$ au point d'abscisse 6 a pour équation $$\begin{array}{ccc}y=g\prime \left(6\right)\times \left(x-6\right)+g\left(6\right)& \text{Soit}& y=-{\displaystyle \frac{f\prime \left(6\right)}{{\left[f\left(6\right)\right]}^2}}\times \left(x-6\right)+{\displaystyle \frac{1}{f\left(6\right)}}\hfill \\ & \iff & y=-{\displaystyle \frac{-{\displaystyle \frac{5}{8}}}{3^2}}\times \left(x-6\right)+{\displaystyle \frac{1}{3}}\hfill \\ & \iff & y={\displaystyle \frac{5}{72}}x-{\displaystyle \frac{1}{12}}\hfill \end{array}$$

      La tangente T à la courbe $C_g$ au point d'abscisse 6 a pour équation $y={\displaystyle \frac{5x-6}{72}}$.  

      ---

---

Rechercher des exercices regoupés par thème

exercices compatibles programme 2012 : ------- Liste des thèmes disponibles -------SuitesFonctions (I) : Dérivées, variationFonctions (I) : Lectures graphiquesFonctions (I) : Applications en ÉconomieFonctions (I) : Valeur intermédiaireFonctions (I) : Q.C.MConvexité, point d'inflexionLogarithme népérien : Propriétés algébriquesLogarithme népérien : ÉquationsLogarithme népérien : Équations avec exponentielleFonction logarithmePropriétés des fonctions exponentielleFonction exponentielleExponentielle d'une fonctionPrimitives d'une fonctionCalcul intégralIntégrale et aireFonctions (II) : Applications en ÉconomieFonctions (II) : Q.C.MFonctions : Vrai-FauxProbabilitésLoi binomialeLois de probabilité à densitéQ.C.M ProbabilitésGraphesGraphes probabilistesMatricesVrai - Faux (divers)

indifférent : ------- Liste des thèmes disponibles -------SuitesFonctions (I) : Dérivées, variationFonctions (I) : Étude de fonctions, limites et dérivéeFonctions (I) : Lectures graphiquesFonctions (I) : Applications en ÉconomieFonctions (I) : Valeur intermédiaireFonctions (I) : Q.C.MFonctions (I) : Limites, dérivée de fonctions composéesConvexité, point d'inflexionLogarithme népérien : Propriétés algébriquesLogarithme népérien : ÉquationsLogarithme népérien : Équations avec exponentielleFonction logarithmeLogarithme d'une fonctionPropriétés des fonctions exponentielleFonction exponentielleExponentielle d'une fonctionPrimitives d'une fonctionCalcul intégralIntégrale et aireFonctions (II) : Applications en ÉconomieFonctions (II) : Q.C.MFonctions : Vrai-FauxAjustement affine d'un nuage de pointsAjustement d'un nuage de pointsProbabilitésLoi binomialeLois de probabilité à densitéQ.C.M ProbabilitésGéométrie dans l'espaceFonctions de deux variablesGraphesGraphes probabilistesMatricesVrai - Faux (divers)

---

[ Accueil ]

---

Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.