contrôles en terminale ES

contrôle du 15 octobre 2011

thèmes abordés

  • Limites et dérivées.
  • Théorème de la valeur intermédiaire .
  • Étude d'un coût moyen.

exercice 1

Calculer les limites suivantes :

  1. limx12+x-11-2x2

  2. limx-x+2-5x2-5

  3. limx-2x2-4x+1

  4. limx+1-2xx-12


exercice 2

Soit f une fonction définie et dérivable sur l'intervalle 0+. Sa courbe représentative notée Cf est tracée ci-dessous dans le plan muni d'un repère.
Les tangentes à la courbe Cf aux points A et C d'abscisses respectives 3,5 et 9 sont parallèles à l'axe des abscisses.
La tangente à la courbe Cf au point B63 passe par le point D1012.

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  1. On note f la dérivée de la fonction f sur l'intervalle 0+. À l'aide des informations précédentes et de la figure ci-dessus, préciser :

    1. Les valeurs de f3,5 et f6

    2. limx+fx

  2. On considère la fonction g définie par gx=1fx . On note Cg sa courbe représentative.

    1. Expliquer pourquoi la fonction g est définie sur l'intervalle 0+

    2. Déterminer les limites de la fonction g aux bornes de son intervalle de définition. Interpréter graphiquement ces résultats.

    3. Dresser le tableau de variations de la fonction g.

    4. Donner une équation de la tangente T à la courbe Cg au point d'abscisse 6.


exercice 3

partie a : Étude d'une fonction auxiliaire

Soit f la fonction définie pour tout réel x par fx=x3-6x2-10.

  1. Étudier les limites de la fonction f en − ∞ et en + ∞.

  2. On note f la dérivée de la fonction f

    1. Calculer fx

    2. Étudier le signe de fx

    3. Donner le tableau complet des variations de de la fonction f.

  3. Montrer que l'équation fx=0 admet une solution unique α . À l'aide de la calculatrice, déterminer la valeur de α arrondie au centième près.

partie b : Étude d'un coût moyen

Soit CT la fonction définie pour tout réel x élément de l'intervalle 010 par :CTx=x32-6x2+24x+10 La fonction CT modélise sur l'intervalle 010 le coût total de production exprimé en milliers d'euros, où x désigne le nombre de milliers d'articles fabriqués chaque jour.
La courbe représentative de la fonction coût total, notée (Γ), est donnée ci-dessous :

Courbe représentative de la fonction coût total : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

On considère la fonction CM définie sur l'intervalle 010 par CMx=CTxx. La fonction CM mesure le coût moyen de production, exprimé en euros, par article fabriqué.

  1. Dans le cas où la production est de 4200 articles par jour, calculer le coût moyen arrondi à l'euro près, d'un article .

  2. Soit A le point d'abscisse a de la courbe (Γ).

    1. Montrer que le coefficient directeur de la droite (OA) est égal au coût moyen CMa

    2. Conjecturer graphiquement, les variations de la fonction CM.

  3. On désigne par C la dérivée de la fonction CM.

    1. Démontrer que pour tout x appartenant à l'intervalle 010 on a Cx=x3-6x2-10x2.

    2. En vous aidant de la partie A, étudiez les variations de la fonction CM.

    3. En déduire le nombre d'articles, arrondi à la dizaine, à fabriquer pour que le coût moyen soit minimal.
      Quel doit être alors le prix de vente minimal, arrondi à l'euro près, d'un article pour que l'entreprise ne travaille pas à perte ?



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✉ A.Yallouz

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