contrôle du 19 novembre 2011

Corrigé de l'exercice 1

partie a

1. Représenter le nuage de points $M_i\left(x_i;y_i\right)$ associé à la série statistique dans le repère ci-dessous.

2. 1. À l'aide de la calculatrice, donner l'équation de la droite d'ajustement affine de y en x obtenue par la méthode des moindres carrés. ( Les coefficients seront arrondis au dixième )

      Une équation de la droite d'ajustement de y en x par la méthode des moindres carrés obtenue à l'aide de la calculatrice est $y=\mathrm{73,5}x+\mathrm{777,2}$ (Coefficients arrondis arrondis au dixième)

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   2. Tracer cette droite dans le repère précédent.

      La droite passe par les points de coordonnées $\left(0;\mathrm{777,2}\right)$ et $\left(10;\mathrm{1512,2}\right)$.

3. Selon cet ajustement, quel serait le montant de la dette publique de la France en 2011 ?
   Compte tenu de l'évolution de la dette les années précédentes, cette estimation est-elle raisonnable ?

   Le rang de l'année 2011 est 11 et : $$\mathrm{73,5}\times 11+\mathrm{777,2}=\mathrm{1585,7}$$

   Selon cet ajustement, le montant de la dette publique de la France serait de 1587,2 milliards d'euros en 2011. En tenant compte uniquement de l'évolution de la dette les années précédentes, il ne semble pas raisonnable d'espérer une baisse du montant de la dette.

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partie b

Dans cette partie, les pourcentages seront arrondis, si nécessaire, à 0,1% près.

1. 1. Calculer le pourcentage d'évolution du montant la dette publique de la France entre 2008 et 2010.

      Le coefficient multiplicateur associé au pourcentage d'évolution global du montant la dette publique entre 2008 et 2011 est : $${\displaystyle \frac{\mathrm{1591,2}}{\mathrm{1318,6}}}\approx \mathrm{1,207}$$ Soit une augmentation de 20,7 %

      Entre 2008 et 2010, le montant la dette publique de la France a augmenté d'environ 20,7 %.

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   2. Déterminer le taux annuel moyen d'évolution du montant de la dette publique de la France de 2008 à 2010.

      Soit t % le pourcentage annuel moyen d'augmentation du montant de la dette publique. Le coefficient multiplicateur associé au pourcentage annuel moyen d'augmentation du montant de la dette publique est $1+{\displaystyle \frac{t}{100}}$.
      Par conséquent sur deux ans, t est la solution positive de l'équation : $$\begin{array}{ccccc}{\left(1+{\displaystyle \frac{t}{100}}\right)}^2=\mathrm{1,207}& \text{Soit}& {\displaystyle \frac{t}{100}}=\sqrt{\mathrm{1,207}}-1& \text{D'où}& t\approx \mathrm{9,9}\end{array}$$

      Entre 2008 et 2010, le montant la dette publique a augmenté d'environ 9,9 % par an.

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   3. En supposant que ce pourcentage annuel d'augmentation est valable pour l'année 2011, donner une estimation du montant de la dette publique de la France en 2011.

      Avec une augmentation de 9,9 % le montant de la dette publique sera : $$\mathrm{1591,2}\times \mathrm{1,099}=\mathrm{1748,73}$$

      Avec une augmentation de 9,9 %, le montant de la dette publique de la France en 2011 serait de 1748,7 milliards d'euros en 2011.

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2. Selon une note de l'INSEE, à la fin du deuxième trimestre 2011, la dette publique de la France a augmenté de 6,4 % par rapport à 2010.
   Calculer le pourcentage d'évolution au deuxième semestre 2011 pour qu'en un an, la dette publique de la France n'augmente que de 9,9 %.

   Soit x le coefficient multiplicateur associé au pourcentage d'augmentation de la dette publique au deuxième semestre : $$\mathrm{1,064}x=\mathrm{1,099}\iff x={\displaystyle \frac{\mathrm{1,099}}{\mathrm{1,064}}}\approx \mathrm{1,033}$$

   Avec une augmentation de 3,3 % au deuxième semestre, la dette publique de la France augmentera d'environ 9,9 % en 2011.

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