contrôle du 19 novembre 2011

Corrigé de l'exercice 2

Soit f une fonction définie et dérivable sur $ℝ$. Sa courbe représentative notée $C_f$ est tracée ci-dessous dans le plan muni d'un repère.
Les tangentes à la courbe $C_f$ aux points A, B et C sont parallèles à l'axe des abscisses.
La tangente à la courbe $C_f$ au point $D\left(1;-1\right)$ coupe l'axe des ordonnées au point de coordonnées $\left(0;-{\displaystyle \frac{5}{2}}\right)$.

Pour chacune des questions suivantes, trois réponses sont proposées; une seule de ces réponses convient. Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse exacte sans justifier le choix effectué.
Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse fausse enlève 0,5 point, l'absence de réponse ne rapporte aucun point et n'en enlève aucun. Si le total des points est négatif, la note globale attribuée à l'exercice est 0.

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1. On note $f\prime$ la dérivée de la fonction f.

   Le nombre dérivé $f\prime \left(1\right)$ est égal au coefficient directeur de la tangente à la courbe au point $D\left(1;-1\right)$ or cette tangente coupe l'axe des ordonnées au point de coordonnées $\left(0;-{\displaystyle \frac{5}{2}}\right)$ d'où $$f\prime \left(1\right)={\displaystyle \frac{-1+{\displaystyle \frac{5}{2}}}{1-0}}={\displaystyle \frac{3}{2}}$$

   a )  $f\prime \left(1\right)=-{\displaystyle \frac{5}{2}}$

   b )  $f\prime \left(1\right)=-1$

   c )  $f\prime \left(1\right)={\displaystyle \frac{3}{2}}$

2. La courbe représentative de la fonction $f\prime$ est :

   La courbe $C_f$ admet trois tangentes parallèles à l'axe des abscisses et d'après les variations de la fonction f, nous pouvons déduire le signe de sa dérivée $f\prime$

   x	$-\infty$		0		3		5		$+\infty$
   Signe de $f\prime \left(x\right)$		−	$\underset{\mathbf{\left|}}{\overset{\mathbf{\right|}}{0}}$	+	$\underset{\mathbf{\left|}}{\overset{\mathbf{\right|}}{0}}$	−	$\underset{\mathbf{\left|}}{\overset{\mathbf{\right|}}{0}}$	+

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   Par conséquent, seules les courbes $C_1$ et $C_3$ peuvent convenir. Or $f\left(1\right)={\displaystyle \frac{3}{2}}$. Donc $C_3$ est la seule des trois courbes susceptible de représenter la dérivée $f\prime$.

   a )  la courbe $C_1$

   b )  la courbe $C_2$

   c )  la courbe $C_3$

3. On considère la fonction g définie sur $ℝ$ par $g\left(x\right)={\left[f\left(x\right)\right]}^2$.

   La fonction g est dérivable comme composée de fonctions dérivables, et pour tout réel x, $$g\prime \left(x\right)=2\times f\left(x\right)\times f\prime \left(x\right)$$

   D'où $$g\prime \left(1\right)=2\times f\left(1\right)\times f\prime \left(1\right)=2\times \left(-1\right)\times {\displaystyle \frac{3}{2}}=-3$$

   a )  $g\prime \left(1\right)=-3$

   b )  $g\prime \left(1\right)=3$

   c )  $f\prime \left(1\right)={\displaystyle \frac{9}{4}}$

4. On considère la fonction h définie sur l'intervalle $\left]5;+\infty \right[$ par $h\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{f\left(x\right)}}$.

   $\underset{x\to 5^{+}}{\lim }f\left(x\right)=0^{+}$ et $\underset{X\to 0^{+}}{\lim }{\displaystyle \frac{1}{X}}=+\infty$ alors par composition, $\underset{x\to 5^{+}}{\lim }{\displaystyle \frac{1}{f\left(x\right)}}=+\infty$

   a )  $\underset{x\to 5^{+}}{\lim }h\left(x\right)=0$

   b )  $\underset{x\to 5^{+}}{\lim }h\left(x\right)=+\infty$

   c )  $\underset{x\to +\infty }{\lim }h\left(x\right)=+\infty$

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