contrôle du 19 novembre 2011

exercice 1

Le tableau ci-dessous, donne l'évolution du montant de la dette publique de la France en milliards d'euros pour les années 2000 à 2010 :

Source INSEE.

Année	2000	2001	2002	2003	2004	2005	2006	2007	2008	2009	2010
Rang $x_i$	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Montant $y_i$	827,3	853,3	912,0	1004,9	1079,5	1147,6	1152,2	1211,6	1318,6	1492,7	1591,2

partie a

1. Représenter le nuage de points $M_i\left(x_i;y_i\right)$ associé à la série statistique dans le repère donné.

2. 1. À l'aide de la calculatrice, donner l'équation de la droite d'ajustement affine de y en x obtenue par la méthode des moindres carrés. ( Les coefficients seront arrondis au dixième )

   2. Tracer cette droite dans le repère précédent.

3. Selon cet ajustement, quel serait le montant de la dette publique de la France en 2011 ?
   Compte tenu de l'évolution de la dette les années précédentes, cette estimation est-elle raisonnable ?

partie b

Dans cette partie, les pourcentages seront arrondis, si nécessaire, à 0,1% près.

1. 1. Calculer le pourcentage d'évolution du montant la dette publique de la France entre 2008 et 2010.

   2. Déterminer le taux annuel moyen d'évolution du montant de la dette publique de la France de 2008 à 2010.

   3. En supposant que ce pourcentage annuel d'augmentation est valable pour l'année 2011, donner une estimation du montant de la dette publique de la France en 2011.

2. Selon une note de l'INSEE, à la fin du deuxième trimestre 2011, la dette publique de la France a augmenté de 6,4 % par rapport à 2010.
   Calculer le pourcentage d'évolution au deuxième semestre 2011 pour qu'en un an, la dette publique de la France n'augmente que de 9,9 %.

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exercice 2

Soit f une fonction définie et dérivable sur $ℝ$. Sa courbe représentative notée $C_f$ est tracée ci-dessous dans le plan muni d'un repère.
Les tangentes à la courbe $C_f$ aux points A, B et C sont parallèles à l'axe des abscisses.
La tangente à la courbe $C_f$ au point $D\left(1;-1\right)$ coupe l'axe des ordonnées au point de coordonnées $\left(0;-{\displaystyle \frac{5}{2}}\right)$.

Pour chacune des questions suivantes, trois réponses sont proposées; une seule de ces réponses convient. Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse exacte sans justifier le choix effectué.
Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse fausse enlève 0,5 point, l'absence de réponse ne rapporte aucun point et n'en enlève aucun. Si le total des points est négatif, la note globale attribuée à l'exercice est 0.

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1. On note $f\prime$ la dérivée de la fonction f.

   a )  $f\prime \left(1\right)=-{\displaystyle \frac{5}{2}}$

   b )  $f\prime \left(1\right)=-1$

   c )  $f\prime \left(1\right)={\displaystyle \frac{3}{2}}$

2. La courbe représentative de la fonction $f\prime$ est :

   a )  la courbe $C_1$

   b )  la courbe $C_2$

   c )  la courbe $C_3$

3. On considère la fonction g définie sur $ℝ$ par $g\left(x\right)={\left[f\left(x\right)\right]}^2$.

   a )  $g\prime \left(1\right)=-3$

   b )  $g\prime \left(1\right)=3$

   c )  $f\prime \left(1\right)={\displaystyle \frac{9}{4}}$

4. On considère la fonction h définie sur l'intervalle $\left]5;+\infty \right[$ par $h\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{f\left(x\right)}}$.

   a )  $\underset{x\to 5^{+}}{\lim }h\left(x\right)=0$

   b )  $\underset{x\to 5^{+}}{\lim }h\left(x\right)=+\infty$

   c )  $\underset{x\to +\infty }{\lim }h\left(x\right)=+\infty$

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exercice 3

partie a

Soit f une fonction définie pour tout réel x de l'intervalle $\left]-8;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{x^2-\mathrm{1,275}x+\mathrm{6,8}}{x+8}}$

1. 1. Calculer $\underset{x\to -8}{\lim }f\left(x\right)$. Interpréter graphiquement ce résultat.

   2. Calculer $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)$

   3. La courbe représentative de la fonction f admet-elle pour asymptote la droite d'équation $y=x-\mathrm{9,275}$ ?

2. On note $f\prime$ la dérivée de la fonction f.

   1. Calculer $f\prime \left(x\right)$

   2. Étudier le signe de $f\prime \left(x\right)$

   3. Donner le tableau complet des variations de de la fonction f.

partie b

L'offre et la demande désignent respectivement la quantité d'un bien ou d'un service que les acteurs du marché sont prêts à vendre ou à acheter à un prix donné.

Une étude concernant un article A a permis d'établir que :

• la fonction d'offre est modélisée par la fonction f définie sur l'intervalle $\left[1;12\right]$ par $f\left(q\right)={\displaystyle \frac{q^2-\mathrm{1,275}q+\mathrm{6,8}}{q+8}}$.
• la fonction demande est modélisée par la fonction g définie sur l'intervalle $\left[1;12\right]$ par $g\left(q\right)={\displaystyle \frac{78-6q}{q+8}}$

où $f\left(q\right)$ et $g\left(q\right)$ sont les prix d'un article en euros, pour une quantité q comprise entre 1 et 12 millions d'unités.

Les courbes représentatives des fonctions d'offre et de demande sont tracées ci-dessous dans le plan muni d'un repère orthogonal.

1. On suppose dans cette question que le prix de vente d'un article est de 6 €.

   1. Par lecture graphique, déterminer une valeur approchée de la quantité d'articles offerte sur le marché.

   2. Calculer la quantité d'articles demandée sur le marché à ce prix.

   3. Quel problème cela pose-t-il ?

2. On dit que le marché est à l'équilibre lorsque, pour un même prix, la quantité offerte est égale à la quantité demandée.
   Calculer les quantités échangées au prix d'équilibre et en déduire le prix d'équilibre du marché.

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