contrôles en terminale ES

Contrôle du 25 mai 2013

Corrigé de l'exercice 1

Dans cet exercice, sauf mention contraire, les résultats seront donnés sous forme décimale arrondis à 10-4 près.

Une usine fabrique en grande quantité des lames de parquet en chêne. Les bois proviennent de deux fournisseurs A et B.

partie a

Dans le stock de cette usine, 75 % des bois proviennent du fournisseur A.
On constate que 9 % des lames obtenues à partir des bois du fournisseur A et 13 % des lames obtenues à partir des bois du fournisseur B présentent un léger défaut qui ne justifie pas le déclassement des lames.
On prélève au hasard une lame. On considère les évènements suivants :

  • A : « la lame prélevée est obtenue à partir de bois du fournisseur A » ;
  • B : « la lame prélevée est obtenue à partir de bois du fournisseur B » ;
  • D : « la lame prélevée a un léger défaut ».
  1. Calculer la probabilité PBD.

    75 % des bois proviennent du fournisseur A d'où PA=0,75 et PB=0,25.

    PBD=PBD×PB soit PBD=0,13×0,25=0,0325

    La probabilité qu'une lame provienne de bois du fournisseur B et qu'elle ait un défaut est égale à 0,0325.


  2. Calculer la probabilité que la lame a un léger défaut.

    Représentons la situation à l'aide d'un arbre pondéré :

    Arbre pondéré : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    D'après la formule des probabilités totales : A1,A2,,An  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
    Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : p(B)=p(BA1)+p(BA2)++p(BAn)
    Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :pB=pBA+pBA¯
    PD=PAD+PBD

    Or PAD=PAD×PA soit PAD=0,09×0,75=0,0675. Donc PD=0,0675+0,0325=0,1

    La probabilité qu'une lame ait un défaut est égale à 0,1.


  3. Calculer la probabilité qu'une lame ayant un léger défaut provienne de bois du fournisseur A.

    PDA=PADPD soit PDA=0,06750,1=0,675

    La probabilité qu'une lame ayant un léger défaut provienne de bois du fournisseur A est égale à 0,675.


partie b

On prélève au hasard 40 lames dans le stock, pour vérification. On admet que la probabilité qu'une lame prélevée au hasard dans ce stock ait un défaut est égale à 0,1.
Le stock est suffisamment important pour assimiler le lot de 40 lames à un tirage avec remise de 40 lames.
On considère la variable aléatoire X qui, à tout prélèvement de 40 lames dans ce stock, associe le nombre de lames ayant un défaut.

  1. Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale.

    Le prélèvement est assimilé à un tirage avec remise et à chaque tirage il n'y a que deux issues possibles la lame a un défaut ou non. Donc X suit une loi binomiale de paramètres 40 et 0,1.


  2. Calculer l'espérance mathématique EX. Interpréter le résultat.

    EX=40×0,1=4

    L'espérance mathématique est égale à 4. Cela signifie que sur un grand nombre de lots de 40 lames, on trouve en moyenne 4 lames par lot qui ont un défaut.


  3. Déterminer la probabilité de trouver quatre lames qui ont un défaut.

    X suit une loi binomiale de paramètres 40 et 0,1 d'où PX=4=404×0,14×0,9360,2059

    La probabilité de trouver dans le lot quatre lames qui ont un défaut est égale à 0,2059.


    Remarque

    Avec une calculatrice TI on obtient le résultat du calcul de PX=4 avec binompdf (40,0.1,4) ou binomFdp (40,0.1,4) selon le modèle.

  4. Déterminer la probabilité qu'au moins deux lames ont un défaut.

    PX2=1-PX=0-PX=1=1-0,940-401×0,1×0,9390,9195

    La probabilité de trouver dans le lot au moins deux lames qui ont un défaut est égale à 0,9195.


    Remarque

    Avec une calculatrice TI on obtient le résultat du calcul de 1-PX1 avec 1-binomcdf (40,0.1,1) ou 1-binomFRép (40,0.1,1) selon le modèle.

partie c

Pour satisfaire la commande d'un client, on prélève au hasard dans le stock 400 lames.
On admet que la loi de la variable aléatoire Z qui, à tout prélèvement de 400 lames dans ce stock, associe le nombre de lames ayant un défaut peut être approchée par la loi normale de moyenne 40 et d'écart type 6.

  1. Déterminer la probabilité que dans un prélèvement de 400 lames, il y ait plus de 50 lames ayant un défaut.

    La calculatrice permet de déterminer la probabilité PaZb quand Z suit la loi normale de moyenne 40 et d'écart type 6 : PZ>50=PZ40-P40X50=0,5-P40X500,0478

    La probabilité que dans un prélèvement de 400 lames, il y ait plus de 50 lames ayant un défaut est égale à 0,0478.


  2. Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique à 95 % de la proportion de lames ayant un défaut.
    En déduire le nombre de lames ayant un défaut que le client peut trouver avec une probabilité proche de 0,95.

    L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 0,95 pour un échantillon de taille 400 est : I=0,1-1,96×0,1×0,94000,1+1,96×0,1×0,9400SoitI=0,07060,1294

    n=400, np=40 et n1-p=360. Les conditions d'utilisation d'un intervalle de fluctuation asymptotique sont réunies.
    Dans le lot de 400 lames, le client peut trouver entre 7,06 % et 12,94 % de lames ayant un défaut avec une probabilité proche de 0,95.

    Comme 0,0706×400=28,24 et 0,1294×400=51,76

    Le client pourra trouver entre 28 et 52 lames ayant un défaut avec une probabilité proche de 0,95.


partie d

Le fabriquant souhaite évaluer la proportion inconnue p de clients satisfaits par son produit. Pour cela, il effectue un sondage auprès d'un échantillon de 200 clients. Sa clientèle est suffisamment importante pour considérer que cet échantillon résulte d'un tirage aléatoire avec remise.
Lors de ce sondage, 156 clients se sont déclarés satisfaits par son produit.

  1. Donner une estimation ponctuelle f de la proportion p de clients satisfaits.

    156 clients sur 200 se sont déclarés satisfaits d'où f=156200=0,78


  2. Déterminer un intervalle de confiance centré sur f de la proportion p avec le coefficient de confiance 95 %. Arrondir les bornes de l'intervalle à 10-2.

    La fréquence observée est f=0,78 pour un échantillon de taille 200. L'intervalle de confiance au niveau 95 % est Ic=0,78-12000,78+1200

    Soit en arrondissant les bornes à 10-2, l'intervalle de confiance au niveau 95 % est Ic=0,710,85.


  3. Ce fabriquant peut-il être certain que plus de 70 % de sa clientèle est satisfaite par son produit ?

    La proportion inconnue p de clients satisfaits n’appartient pas nécessairement à l’intervalle de confiance. Par conséquent, le fabriquant ne peut pas être certain que plus de 70 % de sa clientèle est satisfaite par son produit.



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