contrôles en terminale ES

Contrôle du 25 mai 2013

Corrigé de l'exercice 2

partie a

Soit f la fonction définie pour tout réel t de l'intervalle 06 par ft=10×e-0,8t-e-t .

  1. On désigne par f la fonction dérivée de la fonction f.

    1. Montrer que ft=10e-t×1-0,8e0,2t.

      Pour tout réel t de l'intervalle 06, ft=10×-0,8e-0,8t+e-t=10e-t×-0,8e-0,8te-t+1=10e-t×1-0,8e0,2t

      f est la fonction définie pour tout réel t de l'intervalle 06 par ft=10e-t×1-0,8e0,2t.


    2. Étudier le signe de ft et en déduire la valeur exacte du maximum de la fonction f.

      Pour tout réel t, e-t>0. Par conséquent, sur l'intervalle 06, ft est du même signe que 1-0,8e0,2t.

      1-0,8e0,2t0e0,2t10,80,2tln1,25t5ln1,25

      Les variations de f se déduisent du signe de sa dérivée. D'où le tableau établissant le signe de la dérivée ainsi que les variations de f

      t05ln1,256
      ft+0||
      ft fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur. fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      D'après le tableau des variations, le maximum de la fonction f est atteint pour t=5ln1,25.

      f5ln1,25=10×e-4ln1,25-e-5ln1,25=10×e4ln0,8-e5ln0,8=10×0,84-0,85=10×0,84×1-0,8=2×0,84=512625

      Le maximum de la fonction est égal à 512625 (ou 0,8192).


  2. La représentation graphique Cf de la fonction f dans un repère orthogonal est fournie ci-dessous.

    Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    À l'aide d'un logiciel de calcul formel, on a obtenu que la dérivée seconde de la fonction f est la fonction définie par f′′t=10e-t×0,64e0,2t-1.

    1. Étudier la convexité de la fonction f.

      La convexité de la fonction f se déduit du signe de sa dérivée seconde.

      0,64e0,2t-10e0,2t10,640,2tln2516t10ln54

      Comme pour tout réel t, e-t>0, le tableau du signe de la dérivée seconde est :

      t010ln1,256
      f′′t0||+

      • Sur l'intervalle 010ln1,25, la fonction f est concave.
      • Sur l'intervalle 10ln1,256, la fonction f est convexe.

    2. La courbe Cf admet-elle un point d'inflexion ? Si oui, donner une valeur arrondie au centième près de ses coordonnées.

      La dérivée seconde s'annule en changeant de signe au point d'abscisse 10ln1,25 donc la courbe Cf admet pour point d'inflexion, le point de coordonnées 10ln1,25f10ln1,25

      Arrondies au centième près, les coordonnées du point d'inflexion de la courbe Cf sont 2,230,6.


  3. Montrer que l'équation ft=0,3 admet une solution unique α dans l'intervalle 34. Donner une valeur approchée de α à 0,1 près.

    f3=10×e-2,4-e-30,41 et f4=10×e-3,2-e-40,22

    La fonction f est dérivable donc continue, strictement décroissante sur l'intervalle 34 et f4<0,3<f3 alors, d'après le théorème de la valeur intermédiaire :Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle ab, alors pour tout réel k compris entre fa et fb, l'équation fx=k admet une solution unique α située dans l'intervalle ab.

    L'équation fx=0,3 admet une unique solution α34. À l'aide de la calculatrice, on trouve α3,5


  4. Démontrer que la fonction F définie sur 06 par Ft=10e-t×1-1,25e0,2t est une primitive de la fonction f sur 06.

    Une primitive F de la fonction f sur 06 est la fonction définie pour tout réel t de l'intervalle 06 par : Ft=10×-1,25e-0,8t+e-t=10e-t×-1,25e-0,8te-t+1=10e-t×1-1,25e0,2t

    Une primitive de la fonction f est la fonction F définie sur 06 par Ft=10e-t×1-1,25e0,2t.


partie b

On s'intéresse à l'évolution du taux d'alcool dans le sang d'une personne, pendant les six heures suivant l'absorption d'une certaine quantité d'alcool.
Le taux d'alcool dans le sang, exprimé en g/l, de cette personne est donné en fonction du temps t, en heures, par la fonction f définie dans la partie A.

  1. Déterminer à quel instant le taux est maximum et donner ce maximum arrondi à 10-2 près.

    D'après la question 1.b de la partie A :

    Le taux d'alcool dans le sang maximum de cette personne est d'environ 0,82 g/l, 1,1 heure après l'absorption d'alcool.


  2. Des études ont montré que dès 0,3 g/l d'alcool dans le sang, un conducteur commet plus d'erreurs sur la route qu'en temps normal.
    Combien de temps, après absorption d'alcool, est-il prudent d'attendre pour cette personne avant de prendre sa voiture ?

    La fonction f est décroissante sur l'intervalle 5ln1,256 et f3,50,3.

    Cette personne devra attendre au moins 3,5 heures après absorption d'alcool, avant de prendre le volant.


  3. Tm est le taux d'alcool moyen pendant les quatre heures suivant l'absorption d'alcool. Donner une valeur arrondie à 10-2 près du taux d'alcool moyen de cette personne.

    La valeur moyenne Tm de la fonction f sur l'intervalle 04 est : Tm=14-0×04fxdx=14×F4-F0=52×e-4×1-1,25e0,8-1-1,25=2,5e-4×1-1,25e0,8+0,6250,54

    Le taux d'alcool moyen pendant les quatre heures suivant l'absorption d'alcool de cette personne est d'environ 0,54 g/l.




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