Contrôle du 25 mai 2013

Corrigé de l'exercice 2

partie a

Soit f la fonction définie pour tout réel t de l'intervalle $\left[0;6\right]$ par $f\left(t\right)=10\times \left({\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,8}t}-{\mathrm{e}}^{-t}\right)$ .

1. On désigne par $f\prime$ la fonction dérivée de la fonction f.

   1. Montrer que $f\prime \left(t\right)=10{\mathrm{e}}^{-t}\times \left(1-\mathrm{0,8}{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,2}t}\right)$.

      Pour tout réel t de l'intervalle $\left[0;6\right]$, $$\begin{array}{ccc}f\prime \left(t\right)& =& 10\times \left(-\mathrm{0,8}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,8}t}+{\mathrm{e}}^{-t}\right)\hfill \\ & =& 10{\mathrm{e}}^{-t}\times \left({\displaystyle \frac{-\mathrm{0,8}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,8}t}}{{\mathrm{e}}^{-t}}}+1\right)\hfill \\ & =& 10{\mathrm{e}}^{-t}\times \left(1-\mathrm{0,8}{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,2}t}\right)\hfill \end{array}$$

      $f\prime$ est la fonction définie pour tout réel t de l'intervalle $\left[0;6\right]$ par $f\prime \left(t\right)=10{\mathrm{e}}^{-t}\times \left(1-\mathrm{0,8}{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,2}t}\right)$.

      ---

   2. Étudier le signe de $f\prime \left(t\right)$ et en déduire la valeur exacte du maximum de la fonction f.

      Pour tout réel t, ${\mathrm{e}}^{-t}>0$. Par conséquent, sur l'intervalle $\left[0;6\right]$, $f\prime \left(t\right)$ est du même signe que $1-\mathrm{0,8}{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,2}t}$.

      $$\begin{array}{ccc}1-\mathrm{0,8}{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,2}t}⩾0& \iff & {\mathrm{e}}^{\mathrm{0,2}t}⩽{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{0,8}}}\hfill \\ & \iff & \mathrm{0,2}t⩽\ln \left(\mathrm{1,25}\right)\hfill \\ & \iff & t⩽5\ln \left(\mathrm{1,25}\right)\hfill \end{array}$$

      Les variations de f se déduisent du signe de sa dérivée. D'où le tableau établissant le signe de la dérivée ainsi que les variations de f

      t	0		$5\ln \left(\mathrm{1,25}\right)$		6
      $f\prime \left(t\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
      $f\left(t\right)$

      D'après le tableau des variations, le maximum de la fonction f est atteint pour $t=5\ln \left(\mathrm{1,25}\right)$.

      $$\begin{array}{ccc}f\left(5\ln \mathrm{1,25}\right)& =& 10\times \left({\mathrm{e}}^{-4\ln \mathrm{1,25}}-{\mathrm{e}}^{-5\ln \mathrm{1,25}}\right)\hfill \\ & =& 10\times \left({\mathrm{e}}^{4\ln \mathrm{0,8}}-{\mathrm{e}}^{5\ln \mathrm{0,8}}\right)\hfill \\ & =& 10\times \left({\mathrm{0,8}}^4-{\mathrm{0,8}}^5\right)\hfill \\ & =& 10\times {\mathrm{0,8}}^4\times \left(1-\mathrm{0,8}\right)\hfill \\ & =& 2\times {\mathrm{0,8}}^4\hfill \\ & =& {\displaystyle \frac{512}{625}}\hfill \end{array}$$

      Le maximum de la fonction est égal à ${\displaystyle \frac{512}{625}}$ (ou 0,8192).

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2. La représentation graphique $C_f$ de la fonction f dans un repère orthogonal est fournie ci-dessous.

   À l'aide d'un logiciel de calcul formel, on a obtenu que la dérivée seconde de la fonction f est la fonction définie par $f\prime \prime \left(t\right)=10{\mathrm{e}}^{-t}\times \left(\mathrm{0,64}{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,2}t}-1\right)$.

   1. Étudier la convexité de la fonction f.

      La convexité de la fonction f se déduit du signe de sa dérivée seconde.

      $$\begin{array}{ccc}\mathrm{0,64}{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,2}t}-1⩾0& \iff & {\mathrm{e}}^{\mathrm{0,2}t}⩾{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{0,64}}}\hfill \\ & \iff & \mathrm{0,2}t⩾\ln \left({\displaystyle \frac{25}{16}}\right)\hfill \\ & \iff & t⩾10\ln \left({\displaystyle \frac{5}{4}}\right)\hfill \end{array}$$

      Comme pour tout réel t, ${\mathrm{e}}^{-t}>0$, le tableau du signe de la dérivée seconde est :

      t	0		$10\ln \left(\mathrm{1,25}\right)$		6
      $f\prime \prime \left(t\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+

      ---

      • Sur l'intervalle $\left[0;10\ln \left(\mathrm{1,25}\right)\right]$, la fonction f est concave.
      • Sur l'intervalle $\left[10\ln \left(\mathrm{1,25}\right);6\right]$, la fonction f est convexe.

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   2. La courbe $C_f$ admet-elle un point d'inflexion ? Si oui, donner une valeur arrondie au centième près de ses coordonnées.

      La dérivée seconde s'annule en changeant de signe au point d'abscisse $10\ln \left(\mathrm{1,25}\right)$ donc la courbe $C_f$ admet pour point d'inflexion, le point de coordonnées $\left(10\ln \left(\mathrm{1,25}\right);f\left(10\ln \mathrm{1,25}\right)\right)$

      Arrondies au centième près, les coordonnées du point d'inflexion de la courbe $C_f$ sont $\left(\mathrm{2,23};\mathrm{0,6}\right)$.

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3. Montrer que l'équation $f\left(t\right)=\mathrm{0,3}$ admet une solution unique α dans l'intervalle $\left[3;4\right]$. Donner une valeur approchée de α à 0,1 près.

   $f\left(3\right)=10\times \left({\mathrm{e}}^{-\mathrm{2,4}}-{\mathrm{e}}^{-3}\right)\approx \mathrm{0,41}$ et $f\left(4\right)=10\times \left({\mathrm{e}}^{-\mathrm{3,2}}-{\mathrm{e}}^{-4}\right)\approx \mathrm{0,22}$

   La fonction f est dérivable donc continue, strictement décroissante sur l'intervalle $\left[3;4\right]$ et $f\left(4\right)<\mathrm{0,3}<f\left(3\right)$ alors, d'après le théorème de la valeur intermédiaire :Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle $\left[a;b\right]$, alors pour tout réel k compris entre $f\left(a\right)$ et $f\left(b\right)$, l'équation $f\left(x\right)=k$ admet une solution unique α située dans l'intervalle $\left[a;b\right]$.

   L'équation $f\left(x\right)=\mathrm{0,3}$ admet une unique solution $\alpha \in \left[3;4\right]$. À l'aide de la calculatrice, on trouve $\alpha \approx \mathrm{3,5}$

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4. Démontrer que la fonction F définie sur $\left[0;6\right]$ par $F\left(t\right)=10{\mathrm{e}}^{-t}\times \left(1-\mathrm{1,25}{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,2}t}\right)$ est une primitive de la fonction f sur $\left[0;6\right]$.

   Une primitive F de la fonction f sur $\left[0;6\right]$ est la fonction définie pour tout réel t de l'intervalle $\left[0;6\right]$ par : $$\begin{array}{ccc}F\left(t\right)& =& 10\times \left(-\mathrm{1,25}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,8}t}+{\mathrm{e}}^{-t}\right)\hfill \\ & =& 10{\mathrm{e}}^{-t}\times \left({\displaystyle \frac{-\mathrm{1,25}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,8}t}}{{\mathrm{e}}^{-t}}}+1\right)\hfill \\ & =& 10{\mathrm{e}}^{-t}\times \left(1-\mathrm{1,25}{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,2}t}\right)\hfill \end{array}$$

   Une primitive de la fonction f est la fonction F définie sur $\left[0;6\right]$ par $F\left(t\right)=10{\mathrm{e}}^{-t}\times \left(1-\mathrm{1,25}{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,2}t}\right)$.

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partie b

On s'intéresse à l'évolution du taux d'alcool dans le sang d'une personne, pendant les six heures suivant l'absorption d'une certaine quantité d'alcool.
Le taux d'alcool dans le sang, exprimé en g/l, de cette personne est donné en fonction du temps t, en heures, par la fonction f définie dans la partie A.

1. Déterminer à quel instant le taux est maximum et donner ce maximum arrondi à ${10}^{-2}$ près.

   D'après la question 1.b de la partie A :

   Le taux d'alcool dans le sang maximum de cette personne est d'environ 0,82 g/l, 1,1 heure après l'absorption d'alcool.

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2. Des études ont montré que dès 0,3 g/l d'alcool dans le sang, un conducteur commet plus d'erreurs sur la route qu'en temps normal.
   Combien de temps, après absorption d'alcool, est-il prudent d'attendre pour cette personne avant de prendre sa voiture ?

   La fonction f est décroissante sur l'intervalle $\left[5\ln \left(\mathrm{1,25}\right);6\right]$ et $f\left(\mathrm{3,5}\right)\approx \mathrm{0,3}$.

   Cette personne devra attendre au moins 3,5 heures après absorption d'alcool, avant de prendre le volant.

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3. $T_m$ est le taux d'alcool moyen pendant les quatre heures suivant l'absorption d'alcool. Donner une valeur arrondie à ${10}^{-2}$ près du taux d'alcool moyen de cette personne.

   La valeur moyenne $T_m$ de la fonction f sur l'intervalle $\left[0;4\right]$ est : $$\begin{array}{ccc}{T}_m={\displaystyle \frac{1}{4-0}}\times {\displaystyle {\int }_0^{4}f\left(x\right)\mathrm{d}x}& =& {\displaystyle \frac{1}{4}}\times \left[F\left(4\right)-F\left(0\right)\right]\hfill \\ & =& {\displaystyle \frac{5}{2}}\times \left[{\mathrm{e}}^{-4}\times \left(1-\mathrm{1,25}{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,8}}\right)-\left(1-\mathrm{1,25}\right)\right]\hfill \\ & =& \mathrm{2,5}{\mathrm{e}}^{-4}\times \left(1-\mathrm{1,25}{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,8}}\right)+\mathrm{0,625}\hfill \\ & \approx & \mathrm{0,54}\hfill \end{array}$$

   Le taux d'alcool moyen pendant les quatre heures suivant l'absorption d'alcool de cette personne est d'environ 0,54 g/l.

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