contrôle du 23 novembre 2012

exercice 1

En 2011, le prix moyen d'un lingot d'or d'un kg est de 36 479 €, contre 15 278 € en 2006.
Calculer le pourcentage annuel moyen d'évolution du prix du lingot d'or entre 2006 et 2011.

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exercice 2

On a tracé ci-dessous, les courbes représentatives de trois fonctions f , g et h définies sur $ℝ$.

1. Une seule de ces trois fonctions est une fonction exponentielle de base q. Laquelle est-ce ?

2. Quelle est la valeur du réel q ?

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exercice 3

Simplifier les expressions suivantes :

$A={\left(2^x\right)}^2+{\displaystyle \frac{1}{2^{-2x}}}$ ;

$B={\left(1+{\mathrm{0,3}}^x\right)}^2-{\left(1-{\mathrm{0,3}}^x\right)}^2$ ;

$C={\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^{3x-2}}{{\mathrm{e}}^{3-2x}}}\times {\mathrm{e}}^{\mathrm{5,5}-5x}$ ;

$D=\left(1+{\mathrm{e}}^x\right)\left(1-{\mathrm{e}}^{-x}\right)+\left(1-{\mathrm{e}}^x\right){\mathrm{e}}^{-x}$.

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exercice 4

Soit f la fonction définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)=5^x+{\mathrm{0,2}}^x$

1. Calculer $f\left(0\right)$.

2. Calculer $f\left(-1\right)$ et $f\left(1\right)$.

3. Montrer que pour tout réel x, $f\left(-x\right)=f\left(x\right)$

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exercice 5

1. Résoudre dans $ℝ$ les équations suivantes :

   1. ${\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{e}}^{2x+1}}}=\mathrm{e}$

   2. $\left(x-1\right)\left({\mathrm{e}}^x-1\right)=0$

2. Résoudre dans $ℝ$ les inéquations suivantes :

   1. ${\left({\mathrm{e}}^x\right)}^2\times {\mathrm{e}}^{x^2}⩽1$

   2. ${\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^x-1}{{\mathrm{e}}^x+1}}⩾0$

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exercice 6

Soit f la fonction définie pour tout réel x par $f\left(x\right)={\mathrm{e}}^x+{\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{e}}^x}}$

1. On note $f\prime$ la dérivée de la fonction f.

   1. Calculer $f\prime \left(x\right)$.

   2. Donner le tableau de variations de f.

   3. En déduire que pour tout réel x, ${\mathrm{e}}^x+{\mathrm{e}}^{-x}⩾2$

2. On note $f″$ la dérivée seconde de la fonction f.

   1. Montrer que pour tout réel x, $f″\left(x\right)=f\left(x\right)$.

   2. Étudier la convexité de la fonction f.

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exercice 7

Soit f la fonction définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)=\left(x^2-{\displaystyle \frac{5}{2}}x+1\right){\mathrm{e}}^x$. Sa courbe représentative notée $C_f$ est donnée en ci-dessous.

1. On note $f\prime$ la dérivée de la fonction f.

   1. Calculer $f\prime \left(x\right)$.

   2. Étudier le signe de $f\prime \left(x\right)$ selon les valeurs de x.

   3. Dresser le tableau des variations de f.

2. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe $C_f$ au point d'abscisse 0.
   Tracer la droite T sur le graphique précédent.

3. Montrer que l'équation $f\left(x\right)=40$ admet une solution unique α dans l'intervalle $\left[2;3\right]$.
   À l'aide de la calculatrice, déterminer la valeur arrondie à 10^− 2 près de α.

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