Contrôle du 26 avril 2013

exercice 1

1. Calculer la valeur exacte de l'intégrale $I={\displaystyle {\int }_0^2{\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,5}x}}{2}}\mathrm{d}x}$.

2. En déduire que la fonction f définie sur l'intervalle $\left[0;2\right]$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,5}x}}{2\mathrm{e}-2}}$ est une fonction de densité sur $\left[0;2\right]$.

3. Soit X la variable aléatoire de densité de probabilité f. La probabilité $P\left(X⩾\mathrm{1,2}\right)$ est-elle supérieure à 0,5 ?

---

exercice 2

Dans un supermarché, le temps d'attente X à la caisse, exprimé en minutes, suit la loi uniforme sur l'intervalle $\left[1;11\right]$.

1. Déterminer la fonction de densité de probabilité f de la la loi de X.

2. Quelle est la probabilité que le temps d'attente soit compris entre trois et cinq minutes ?

3. Quelle est la probabilité qu'un client attende plus de huit minutes à la caisse ?

4. Préciser le temps d'attente moyen à la caisse.

---

exercice 3

La variable X suit la loi normale $𝒩\left(180;{\mathrm{10,5}}^2\right)$. Les résultats seront arrondis à 10^− 3 près.

1. Déterminer les probabilités suivantes :

   1. $P\left(170⩽X⩽200\right)$

   2. $P\left(X⩽150\right)$

   3. $P\left(X⩾160\right)$

   4. $P\left(X⩾190\right)$

2. Déterminer le réel a tel que $P\left(X<a\right)=\mathrm{0,875}$.

3. Déterminer le réel b tel que $P\left(X⩾b\right)={\displaystyle \frac{3}{4}}$.

---

exercice 4

Dans une entreprise de vente par correspondance, une étude statistique a montré que 40 % des clients ont choisi l'option « Livraison Express ».
On prélève au hasard et de manière indépendante 600 bons de commande.
On note X la variable aléatoire qui associe le nombre de bons portant la mention « Livraison Express ».

1. Déterminer la loi probabilité de X. Quelle est son espérance mathématique ?

2. On admet que l'on peut approcher la loi de la variable aléatoire ${\displaystyle \frac{X-240}{12}}$ par la loi normale centrée réduite. On note Z une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite.

   1. Montrer que $P\left(225⩽X⩽270\right)=P\left(-\mathrm{1,25}⩽Z⩽\mathrm{2,5}\right)$.
      Quelle est la probabilité, arrondie à 10^− 3 près, que le nombre de bons portant la mention « Livraison Express » soit compris entre 225 et 270 ?

   2. Déterminer la probabilité, arrondie à 10^− 3 près, qu'au moins 276 bons portent la mention « Livraison Express ».

---

exercice 5

Soit f la fonction définie pour tout réel x strictement positif par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{2\ln x+4}{x}}$.

1. Résoudre l'inéquation $f\left(x\right)⩾0$.

2. On note $f\prime$ la dérivée de la fonction f. calculer $f\prime \left(x\right)$.

3. Étudier les variations de f et dresser le tableau de variation de f.

4. 1. Montrer que la fonction G définie sur $\left]0;+\infty \right[$ par $G\left(x\right)={\left(\ln x\right)}^2$ est une primitive de la fonction g définie pour tout réel x strictement positif par $g\left(x\right)={\displaystyle \frac{2\ln x}{x}}$.
      En déduire une primitive F de la fonction f sur $\left]0;+\infty \right[$.

   2. Étudier la convexité de la fonction F.

5. On note $C_f$ la courbe représentative de la fonction f dans le plan muni d'un repère orthonormé.
   Déterminer l'aire, en unités d'aire, de la surface comprise entre la courbe $C_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=1$ et $x={\mathrm{e}}^2$.

---

---

Télécharger le sujet :

  LaTeX      |      Pdf    

---

Rechercher des exercices regoupés par thème

exercices compatibles programme 2012 : ------- Liste des thèmes disponibles -------SuitesFonctions (I) : Dérivées, variationFonctions (I) : Lectures graphiquesFonctions (I) : Applications en ÉconomieFonctions (I) : Valeur intermédiaireFonctions (I) : Q.C.MConvexité, point d'inflexionLogarithme népérien : Propriétés algébriquesLogarithme népérien : ÉquationsLogarithme népérien : Équations avec exponentielleFonction logarithmePropriétés des fonctions exponentielleFonction exponentielleExponentielle d'une fonctionPrimitives d'une fonctionCalcul intégralIntégrale et aireFonctions (II) : Applications en ÉconomieFonctions (II) : Q.C.MFonctions : Vrai-FauxProbabilitésLoi binomialeLois de probabilité à densitéQ.C.M ProbabilitésGraphesGraphes probabilistesMatricesVrai - Faux (divers)

indifférent : ------- Liste des thèmes disponibles -------SuitesFonctions (I) : Dérivées, variationFonctions (I) : Étude de fonctions, limites et dérivéeFonctions (I) : Lectures graphiquesFonctions (I) : Applications en ÉconomieFonctions (I) : Valeur intermédiaireFonctions (I) : Q.C.MFonctions (I) : Limites, dérivée de fonctions composéesConvexité, point d'inflexionLogarithme népérien : Propriétés algébriquesLogarithme népérien : ÉquationsLogarithme népérien : Équations avec exponentielleFonction logarithmeLogarithme d'une fonctionPropriétés des fonctions exponentielleFonction exponentielleExponentielle d'une fonctionPrimitives d'une fonctionCalcul intégralIntégrale et aireFonctions (II) : Applications en ÉconomieFonctions (II) : Q.C.MFonctions : Vrai-FauxAjustement affine d'un nuage de pointsAjustement d'un nuage de pointsProbabilitésLoi binomialeLois de probabilité à densitéQ.C.M ProbabilitésGéométrie dans l'espaceFonctions de deux variablesGraphesGraphes probabilistesMatricesVrai - Faux (divers)

---

[ Accueil ]

---

Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.