contrôles en terminale ES

contrôle du 11 janvier 2014

Corrigé de l'exercice 1

Le cours de l'or est passé de 1 660 $ l'once au 1^er janvier 2013 à 1 214 $ l'once au 31 décembre 2013.
Quel a été le pourcentage d'évolution mensuel moyen du cours de l'or en 2013 ?
Soit t % le pourcentage mensuel moyen d'évolution du cours de l'or pendant l'année 2013 : $\begin{matrix} {(1 + \frac{t}{100})}^{12} = \frac{1214}{1660} & \Leftrightarrow & 1 + \frac{t}{100} = {(\frac{1214}{1660})}^{\frac{1}{12}} \\ \Leftrightarrow & \frac{t}{100} = {(\frac{1214}{1660})}^{\frac{1}{12}} - 1 \\ Soit & \frac{t}{100} \approx - 0,0257 \end{matrix}$
En 2013, le cours de l'or a baissé d'environ 2,57 % par mois.
D'une année sur l'autre, un produit perd 6 % de sa valeur.
Au bout de combien d'années ce produit aura-t-il a perdu plus de 60 % de sa valeur initiale ?
Soit $V_{0}$ la valeur initiale du produit. Pour tout entier naturel n, notons $V_{n}$ la valeur du produit au bout de n années.
D'une année sur l'autre, ce produit perd 6 % de sa valeur donc pour tout entier naturel n, $V_{n + 1} = 0,94 \times V_{n}$ .
Ainsi, $(V_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,94 et de premier terme $V_{0}$ . D'où pour tout entier naturel n, $V_{n} = {0,94}^{n} \times V_{0}$
Le coefficient multiplicateur associé à diminution de 60% est égal à 0,40. n est le plus petit entier tel que $\begin{array}{l} {0,94}^{n} \times V_{0} < 0,4 \times V_{0} & \Leftrightarrow & {0,94}^{n} < 0,4 \\ \Leftrightarrow & \ln ({0,94}^{n}) < \ln (0,4) & La fonction \ln est strictement croissante \\ \Leftrightarrow & n \ln (0,94) < \ln (0,4) \\ \Leftrightarrow & n > \frac{\ln (0,4)}{\ln (0,94)} & 0,94 < 1 donc \ln (0,94) < 0 \end{array}$
Or $\frac{\ln (0,4)}{\ln (0,94)} \approx 14,8$ donc $n = 15$
Ce produit aura perdu plus de 60 % de sa valeur initiale au bout de 15 ans.

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