contrôles en terminale ES

contrôle du 11 janvier 2014

Corrigé de l'exercice 2

Soit f la fonction définie sur I=]0;+[ par f(x)=1+lnxx
Sa courbe représentative, notée Cf, est tracée dans un repère orthonormé en annexe ci-dessous.

  1. On désigne par f la fonction dérivée de la fonction f

    1. Montrer que pour tout réel x strictement positif, f(x)=1-lnxx2.

      f=1+uv d'où f=uv-uvv2 avec pour tout réel x]0;+[ : {u(x)=lnxd'oùu(x)=1x et v(x)=x d'où v(x)=1

      Soit pour tout réel x strictement positif, f(x)=1x×x-lnxx2=1-lnxx2

      Ainsi, la dérivée de la fonction f est la fonction f définie sur l'intervalle I=]0;+[ par f(x)=1-lnxx2.


    2. Étudier le signe de la fonction dérivée f sur l'intervalle I.

      Sur l'intervalle ]0;+[ le quotient 1-lnxx2 est du même signe que 1-lnx. Or pour tout réel x strictement positif, 1-lnx0-lnx-1  et  x>0lnx1  et  x>0xe

      Sur l'intervalle ]0;e], f(x)0 et sur l'intervalle [e;+[, f(x)0.


    3. Recopier et compléter le tableau des variations de f sur I.

      Les variations de la fonction f se déduisent du signe de f(x) sur I :

      x0e+
      f(x)+0||
      f(x)

      − ∞

      fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      1+1e

      fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      1

  2. Montrer que l'équation f(x)=0 admet une unique solution α dans l'intervalle ]0;+[.
    Donner une valeur arrondie à 10− 2 près de α.

    Ainsi, l'équation f(x)=0 admet une unique solution α]0;e]. À l'aide de la calculatrice, on trouve α0,57.


  3. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe Cf au point A d'abscisse 1.
    Tracer sur le graphique donné en annexe, la tangente T.

    Une équation de la tangente T à la courbe Cf au point A d'abscisse 1 est :y=f(1)×(x-1)+f(1)

    Or f(1)=1 et f(1)=1 d'où :

    la tangente T à la courbe Cf au point A d'abscisse 1 a pour équation y=x.


    Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  4. La dérivée seconde de la fonction f est la fonction f définie pour tout réel x strictement positif par f(x)=2lnx-3x3.
    Étudier la convexité de la fonction f.

    La convexité de la fonction f se déduit du signe de sa dérivée seconde f. Sur l'intervalle I=]0;+[, f(x) est du même signe que 2lnx-3. Or 2lnx-30lnx32xe1,5

    x-e1,5+
    Signe de f(x)0||+
    Convexité de f

    f est concave

     

    f est convexe

     

    La fonction f est concave sur l'intervalle ]0;e1,5] et convexe sur l'intervalle [e1,5;+[.



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