Soit f la fonction définie sur par
Sa courbe représentative, notée , est tracée dans un repère orthonormé en annexe ci-dessous.
On désigne par la fonction dérivée de la fonction f
Montrer que pour tout réel x strictement positif, .
d'où avec pour tout réel :
Soit pour tout réel x strictement positif,
Ainsi, la dérivée de la fonction f est la fonction définie sur l'intervalle par .
Étudier le signe de la fonction dérivée sur l'intervalle I.
Sur l'intervalle le quotient est du même signe que . Or pour tout réel x strictement positif,
Sur l'intervalle , et sur l'intervalle , .
Recopier et compléter le tableau des variations de f sur I.
Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sur I :
x | 0 | e | ||||
+ | − | |||||
− ∞ | 1 |
Montrer que l'équation admet une unique solution α dans l'intervalle .
Donner une valeur arrondie à 10− 2 près de α.
Sur l'intervalle , la fonction f est dérivable donc continue, strictement décroissante et alors, d'après le théorème de la valeur intermédiaire Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle , alors pour tout réel k compris entre et , l'équation admet une solution unique α située dans l'intervalle . :
l'équation admet une unique solution .
Sur l'intervalle la fonction f est strictement décroissante et . Donc sur cet intervalle, l'équation n'a pas solution.
Ainsi, l'équation admet une unique solution . À l'aide de la calculatrice, on trouve .
Déterminer une équation de la tangente T à la courbe au point A d'abscisse 1.
Tracer sur le graphique donné en annexe, la tangente T.
Une équation de la tangente T à la courbe au point A d'abscisse 1 est :
Or et d'où :
la tangente T à la courbe au point A d'abscisse 1 a pour équation .
La dérivée seconde de la fonction f est la fonction définie pour tout réel x strictement positif par .
Étudier la convexité de la fonction f.
La convexité de la fonction f se déduit du signe de sa dérivée seconde . Sur l'intervalle , est du même signe que . Or
x | |||||
Signe de | − | + | |||
Convexité de f | f est concave | f est convexe |
La fonction f est concave sur l'intervalle et convexe sur l'intervalle .
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