contrôle du 11 janvier 2014

exercice 1

1. Le cours de l'or est passé de 1 660 $ l'once au 1^er janvier 2013 à 1 214 $ l'once au 31 décembre 2013.
   Quel a été le pourcentage d'évolution mensuel moyen du cours de l'or en 2013 ?

2. D'une année sur l'autre, un produit perd 6 % de sa valeur.
   Au bout de combien d'années ce produit aura-t-il a perdu plus de 60 % de sa valeur initiale ?

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exercice 2

Soit f la fonction définie sur $I=\left]0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)=1+{\displaystyle \frac{\ln x}{x}}$
Sa courbe représentative, notée $C_f$, est tracée dans un repère orthonormé en annexe ci-dessous.

1. On désigne par $f\prime$ la fonction dérivée de la fonction f

   1. Montrer que pour tout réel x strictement positif, $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{1-\ln x}{x^2}}$.

   2. Étudier le signe de la fonction dérivée $f\prime$ sur l'intervalle I.

   3. Recopier et compléter le tableau des variations de f sur I.

      x	0			…		$+\infty$
      $f\prime \left(x\right)$				$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$
      $f\left(x\right)$		− ∞				1

2. Montrer que l'équation $f\left(x\right)=0$ admet une unique solution α dans l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$.
   Donner une valeur arrondie à 10^{− 2} près de α.

3. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe $C_f$ au point A d'abscisse 1.
   Tracer sur le graphique donné en annexe, la tangente T.

4. La dérivée seconde de la fonction f est la fonction $f″$ définie pour tout réel x strictement positif par $f″\left(x\right)={\displaystyle \frac{2\ln x-3}{x^3}}$.
   Étudier la convexité de la fonction f.

ANNEXE

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exercice 3

Les parties A et B sont indépendantes.

partie a

Une agence de tourisme a sélectionné neuf sites à visiter dans une agglomération.
Le graphe suivant modélise une partie du plan de l'agglomération.
Les arêtes du graphe représentent les rues permettant un accès à un site (*) et les sommets du graphe les carrefours.

1. Quel est l'ordre du graphe ? Ce graphe est-il complet ?

2. Combien y a-t-il de chaînes de longueur 3 commençant en C et finissant en D ?

3. Est-il possible de visiter les neuf sites en n'empruntant chaque rue qu'une seule fois ? si oui donner un exemple de parcours possible.

partie b

On considère l'automate G défini par le graphe étiqueté ci-dessous.
Un mot reconnu par l'automate est formé de lettres qui se succèdent sur un chemin du graphe orienté, en partant du sommet 0 et en sortant au sommet 3.

1. Parmi les mots suivants, quels sont ceux qui sont reconnus par l'automate ?
   abc ; babac ; abacab ; cababab ; bacabac ; acabbacab

2. Recopier et compléter la matrice d'adjacence M associée au graphe. $M=\left(\begin{array}{cccc}2& 1& 0& 0\\ 1& 1& \dots & \dots \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ \dots & \dots & \dots & 3\end{array}\right)$

3. 1. Quel est le mot le plus court reconnu par l'automate ?

   2. Quel est le nombre de mots de 4 lettres reconnus par l'automate ? Quels sont ces mots ?

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