contrôles en terminale ES

contrôle du 11 janvier 2014

thèmes abordés

  • Fonction logarithme.
  • Graphes.

exercice 1

  1. Le cours de l'or est passé de 1660 $ l'once au 1er janvier 2013 à 1214 $ l'once au 31 décembre 2013.
    Quel a été le pourcentage d'évolution mensuel moyen du cours de l'or en 2013 ?

  2. D'une année sur l'autre, un produit perd 6 % de sa valeur.
    Au bout de combien d'années ce produit aura-t-il a perdu plus de 60 % de sa valeur initiale ?


exercice 2

Soit f la fonction définie sur I=0+ par fx=1+lnxx
Sa courbe représentative, notée Cf, est tracée dans un repère orthonormé en annexe ci-dessous.

  1. On désigne par f la fonction dérivée de la fonction f

    1. Montrer que pour tout réel x strictement positif, fx=1-lnxx2.

    2. Étudier le signe de la fonction dérivée f sur l'intervalle I.

    3. Recopier et compléter le tableau des variations de f sur I.

      x0+ ∞
      fx0||
      fx


      − ∞


      1

  2. Montrer que l'équation fx=0 admet une unique solution α dans l'intervalle 0+.
    Donner une valeur arrondie à 10− 2 près de α.

  3. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe Cf au point A d'abscisse 1.
    Tracer sur le graphique donné en annexe, la tangente T.

  4. La dérivée seconde de la fonction f est la fonction f définie pour tout réel x strictement positif par fx=2lnx-3x3.
    Étudier la convexité de la fonction f.

ANNEXE

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

exercice 3

Les parties A et B sont indépendantes.

partie a

Une agence de tourisme a sélectionné neuf sites à visiter dans une agglomération.
Le graphe suivant modélise une partie du plan de l'agglomération.
Les arêtes du graphe représentent les rues permettant un accès à un site (*) et les sommets du graphe les carrefours.

Graphe : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  1. Quel est l'ordre du graphe ? Ce graphe est-il complet ?

  2. Combien y a-t-il de chaînes de longueur 3 commençant en C et finissant en D ?

  3. Est-il possible de visiter les neuf sites en n'empruntant chaque rue qu'une seule fois ? si oui donner un exemple de parcours possible.

partie b

On considère l'automate G défini par le graphe étiqueté ci-dessous.
Un mot reconnu par l'automate est formé de lettres qui se succèdent sur un chemin du graphe orienté, en partant du sommet 0 et en sortant au sommet 3.

Graphe : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  1. Parmi les mots suivants, quels sont ceux qui sont reconnus par l'automate ?
    abc ; babac ; abacab ; cababab ; bacabac ; acabbacab

  2. Recopier et compléter la matrice d'adjacence M associée au graphe. M=2100113

    1. Quel est le mot le plus court reconnu par l'automate ?

    2. Quel est le nombre de mots de 4 lettres reconnus par l'automate ? Quels sont ces mots ?



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