contrôle du 08 février 2014

Corrigé de l'exercice 1

Une entreprise fabrique des articles en grande quantité.
Une étude statistique a permis de constater que 9 % des articles fabriqués sont défectueux.
L'entreprise décide alors de mettre en place un test de contrôle de qualité de ces articles.
Ce contrôle détecte et élimine 92 % des articles défectueux, mais il élimine également à tort 2 % des articles non défectueux. Les articles non éliminés sont alors mis en vente.

partie a

1. Construire un arbre pondéré rendant compte de cette situation.

   • 9 % des articles fabriqués sont défectueux alors, $p\left(D\right)=\mathrm{0,09}$ et $p\left(\overline{D}\right)=1-p\left(D\right)=\mathrm{0,91}$.
   • Le contrôle détecte et élimine 92 % des articles défectueux alors, $p_D\left(\overline{V}\right)=\mathrm{0,92}$ et $p_D\left(V\right)=1-p_D\left(\overline{V}\right)=\mathrm{0,08}$.
   • Le contrôle détecte et élimine à tort 2 % des articles non défectueux alors, $p_{\overline{D}}\left(\overline{V}\right)=\mathrm{0,02}$ et $p_{\overline{D}}\left(V\right)=1-p_{\overline{D}}\left(\overline{V}\right)=\mathrm{0,98}$.

   D'où l'arbre pondéré rendant compte de cette situation :

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2. Calculer la probabilité qu'un article fabriqué ait un défaut et soit mis en vente.

   $$\begin{array}{ll}& p\left(V\cap D\right)=p_D\left(V\right)\times p\left(D\right)\\ \text{Soit}& p\left(V\cap D\right)=\mathrm{0,08}\times \mathrm{0,09}=\mathrm{0,0072}\end{array}$$

   La probabilité qu'un article fabriqué ait un défaut et soit mis en vente est égale à 0,0072.

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3. Calculer la probabilité qu'un article soit mis en vente après le contrôle.

   Les évènements D et V sont relatifs à la même épreuve, d'après la formule des probabilités totales : $$p\left(V\right)=p\left(V\cap D\right)+p\left(V\cap \overline{D}\right)$$

   Or $$\begin{array}{ll}& p\left(V\cap \overline{D}\right)=p_{\overline{D}}\left(V\right)\times p\left(\overline{D}\right)\\ \text{Soit}& p\left(V\cap \overline{D}\right)=\mathrm{0,98}\times \mathrm{0,91}=\mathrm{0,8918}\end{array}$$

   D'où, $$\begin{array}{lll}p\left(V\right)& =& p\left(V\cap D\right)+p\left(V\cap \overline{D}\right)\\ & =& \mathrm{0,0072}+\mathrm{0,8918}\\ & =& \mathrm{0,899}\end{array}$$

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   La probabilité qu'un article soit mis en vente après contrôle est $p\left(V\right)=\mathrm{0,899}$.

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4. Un article est déclaré bon pour la vente après le contrôle. Quelle est la probabilité qu'il soit défectueux ?

   Il s'agit, de calculer la probabilité conditionnelle de l'évènement D sachant que l'évènement V est réalisé. $$\begin{array}{lll}{p}_V\left(D\right)={\displaystyle \frac{p\left(V\cap D\right)}{p\left(V\right)}}& \text{Soit}& p_V\left(D\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,0072}}{\mathrm{0,899}}}\approx \mathrm{0,008}\end{array}$$

   Arrondie au dix millième, la probabilité qu'un article mis en vente après contrôle soit défectueux est 0,008.

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partie b

On admet dans cette partie que 0,8 % des articles vendus sont défectueux.
Pour satisfaire la commande d'un client, on prélève au hasard 50 articles dans le stock. Le stock est suffisamment important pour que le prélèvement des articles soit assimilé à des tirages indépendants avec remise.
On considère la variable aléatoire X qui, à tout prélèvement de 50 articles dans ce stock, associe le nombre d'articles défectueux.

1. Déterminer la probabilité de trouver deux articles qui ont un défaut.

   Comme le prélèvement des articles est assimilé à des tirages indépendants avec remise, la loi de probabilité de la variable aléatoire X est une loi binomiale de paramètres 50 et 0,008.
   La probabilité que deux articles aient un défaut est : $$p\left(X=2\right)=\left(\begin{array}{c}50\\ 2\end{array}\right)\times {\mathrm{0,008}}^2\times {\left(1-\mathrm{0,008}\right)}^{48}\approx \mathrm{0,0533}$$

   Arrondie au dix millième près, la probabilité que dans un lot de 50 aricles on trouve deux articles qui ont un défaut est 0,0533.

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2. Déterminer la probabilité qu'au moins deux articles ont un défaut.

   Dans le cas d'une loi binomiale, la calculatrice permet d'obtenir la probabilité $p\left(X⩽k\right)$

   L'évènement « obtenir au moins deux articles défectueux » est l'évènement contraire de l'évènement « obtenir au plus un article défectueux ». D'où $$\begin{array}{ccc}p\left(X⩾2\right)& =& 1-p\left(X⩽1\right)\hfill \\ & \approx & \mathrm{0,0609}\hfill \end{array}$$

   Arrondie au dix millième près, la probabilité que dans un lot de 50 aricles on trouve au moins deux articles qui ont un défaut est 0,0609.

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