contrôle du 08 février 2014

Corrigé de l'exercice 2

Soit f la fonction définie sur $I=\left]0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)=x^3\times \left(\ln x-{\displaystyle \frac{5}{6}}\right)$.

1. La courbe représentative de la fonction f, notée $C_f$, est tracée ci-dessous dans un repère orthonormé. La droite T est la tangente à la courbe $C_f$ au point A d'abscisse 1.
   Par lecture graphique, que représente le point A pour la courbe $C_f$ ?

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   La courbe $C_f$ traverse sa tangente en A, donc A est un point d'inflexion.

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2. On désigne par $f\prime$ la fonction dérivée de la fonction f

   1. Montrer que pour tout réel x strictement positif, $f\prime \left(x\right)=3x^2\times \left(\ln x-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)$.

      f est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables : $f=uv$ d'où $f\prime =u\prime v+uv\prime$ avec pour tout réel x, $\{\begin{array}{ccc}u\left(x\right)=x^3\hfill & \text{;}& u\prime \left(x\right)=3x^2\hfill \\ v\left(x\right)=\ln x-{\displaystyle \frac{5}{6}}\hfill & \text{;}& v\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{x}}\hfill \end{array}$

      Soit pour tout réel x strictement positif, $$\begin{array}{ccc}f\prime \left(x\right)& =& 3x^2\times \left(\ln x-{\displaystyle \frac{5}{6}}\right)+x^3\times {\displaystyle \frac{1}{x}}\hfill \\ & =& 3x^2\times \left(\ln x-{\displaystyle \frac{5}{6}}\right)+x^2\hfill \\ & =& 3x^2\times \left(\ln x-{\displaystyle \frac{5}{6}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}\right)\hfill \\ & =& 3x^2\times \left(\ln x-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)\hfill \end{array}$$

      Ainsi, $f\prime$ est la fonction définie pour tout réel x strictement positif par $f\prime \left(x\right)=3x^2\times \left(\ln x-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)$

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   2. Étudier le signe de la fonction dérivée $f\prime$ sur l'intervalle I.

      Sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ le produit $3x^2\times \left(\ln x-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)$ est du même signe que $\ln x-{\displaystyle \frac{1}{2}}$. Or pour tout réel x strictement positif, $$\begin{array}{lll}\ln x-{\displaystyle \frac{1}{2}}⩽0& \iff & \ln x⩽{\displaystyle \frac{1}{2}}\text{ et }x>0\\ & \iff & x⩽\sqrt{\mathrm{e}}\text{ et }x>0\end{array}$$

      Sur l'intervalle $\left]0;\sqrt{\mathrm{e}}\right]$, $f\prime \left(x\right)⩽0$ et sur l'intervalle $\left[\sqrt{\mathrm{e}};+\infty \right[$, $f\prime \left(x\right)⩾0$.

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   3. En déduire le tableau de variations de f sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$.

      Les variations de la fonction f se déduisent du signe de $f\prime \left(x\right)$ sur I :

      x	0			$\sqrt{\mathrm{e}}$		$+\infty$
      $f\prime \left(x\right)$			−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
      $f\left(x\right)$				$-{\displaystyle \frac{\sqrt{{\mathrm{e}}^3}}{3}}$

      calcul du minimum

      $$\begin{array}{lll}f\left(\sqrt{\mathrm{e}}\right)& =& {\left(\sqrt{\mathrm{e}}\right)}^3\times \left(\ln \sqrt{\mathrm{e}}-{\displaystyle \frac{5}{6}}\right)\\ & =& \sqrt{{\mathrm{e}}^3}\times \left({\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{5}{6}}\right)\\ & =& -{\displaystyle \frac{\sqrt{{\mathrm{e}}^3}}{3}}\end{array}$$

3. On note $f″$ la dérivée seconde de f sur $\left]0;+\infty \right[$. On admet que, pour tout réel x strictement positif on a $f″\left(x\right)=6x\ln x$.
   Étudier la convexité de la fonction f.

   La convexité de la fonction f se déduit du signe de sa dérivée seconde $f″$. Sur l'intervalle $I=\left]0;+\infty \right[$, $f″\left(x\right)$ est du même signe que $\ln x$.

   x	$-\infty$		1		$+\infty$
   Signe de $f″\left(x\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
   Convexité de f		f est concave		f est convexe

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   La fonction f est concave sur l'intervalle $\left]0;1\right]$ et convexe sur l'intervalle $\left[1;+\infty \right[$.

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   remarque

   En 1, la dérivée seconde s'annule en changeant de signe donc le point A d'abscisse 1 est un point d'inflexion de la courbe $C_f$.

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