contrôles en terminale ES

contrôle du 08 février 2014

thèmes abordés

  • Probabilités discrètes loi binomiale..
  • Fonction logarithme.
  • Graphes, algorithme de Dijkstra.

exercice 1

Une entreprise fabrique des articles en grande quantité.
Une étude statistique a permis de constater que 9 % des articles fabriqués sont défectueux.
L'entreprise décide alors de mettre en place un test de contrôle de qualité de ces articles.
Ce contrôle détecte et élimine 92 % des articles défectueux, mais il élimine également à tort 2 % des articles non défectueux. Les articles non éliminés sont alors mis en vente.

partie a

On prend au hasard un article fabriqué et on note :

  1. Construire un arbre pondéré rendant compte de cette situation.

  2. Calculer la probabilité qu'un article fabriqué ait un défaut et soit mis en vente.

  3. Calculer la probabilité qu'un article soit mis en vente après le contrôle.

  4. Un article est déclaré bon pour la vente après le contrôle. Quelle est la probabilité qu'il soit défectueux ?

partie b

On admet dans cette partie que 0,8 % des articles vendus sont défectueux.
Pour satisfaire la commande d'un client, on prélève au hasard 50 articles dans le stock. Le stock est suffisamment important pour que le prélèvement des articles soit assimilé à des tirages indépendants avec remise.
On considère la variable aléatoire X qui, à tout prélèvement de 50 articles dans ce stock, associe le nombre d'articles défectueux.

  1. Déterminer la probabilité de trouver deux articles qui ont un défaut.

  2. Déterminer la probabilité qu'au moins deux articles ont un défaut.


exercice 2

Soit f la fonction définie sur I=0+ par fx=x3×lnx-56.

  1. La courbe représentative de la fonction f, notée Cf, est tracée ci-dessous dans un repère orthonormé.
    La droite T est la tangente à la courbe Cf au point A d'abscisse 1.

    Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    Par lecture graphique, que représente le point A pour la courbe Cf ?

  2. On désigne par f la fonction dérivée de la fonction f

    1. Montrer que pour tout réel x strictement positif, fx=3x2×lnx-12.

    2. Étudier le signe de la fonction dérivée f sur l'intervalle I.

    3. En déduire le tableau de variations de f sur l'intervalle 0+.

  3. On note f la dérivée seconde de f sur 0+.
    On admet que, pour tout réel x strictement positif on a fx=6xlnx.
    Étudier la convexité de la fonction f.


exercice 3

D'après sujet bac Centres Étrangers 2013

Dans le graphe ci-dessous, les sommets représentent différentes zones de résidence ou d'activités d'une municipalité. Une arête reliant deux de ces sommets indique l'existence d'une voie d'accès principale entre deux lieux correspondants.

Graphe Γ : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  1. Donner, sans justifier, le degré de chacun des sommets (la réponse pourra être présentée sous forme de tableau où les sommets seront mis dans l'ordre alphabétique).

    1. Donner la matrice M associée au graphe (les sommets seront mis dans l'ordre alphabétique).

    2. On donne la matrice M3=2785553781213128581212151313551315121312851213131012558131212873558572

      Déterminer, en justifiant, le nombre de chemins de longueur 3 reliant A et F puis donner leur liste.

  2. Pour sa campagne électorale, un candidat souhaite parcourir toutes les voies d'accès principales de ce quartier sans emprunter plusieurs fois la même voie. Montrer qu'un tel parcours est possible.

  3. Dans le graphe ci-dessous, les valeurs indiquent, en minutes, les durées moyennes des trajets entre les différents lieux via les transports en commun.

    Graphe pondéré : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    Ce même candidat se trouve à la mairie (A) quand on lui rappelle qu'il a un rendez-vous avec le responsable de l'hôpital situé en zone G.

    1. En utilisant l'algorithme de Dijkstra, déterminer le chemin de durée minimale que ce candidat devra emprunter pour arriver à son rendez-vous.

    2. Combien de temps faut-il prévoir pour effectuer ce trajet ?



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