contrôles en terminale ES

contrôle du 08 mars 2014

Corrigé de l'exercice 1

Calculer la valeur exacte de chacune des intégrales suivantes :

$A = \int_{- 1}^{2} (x^{2} - 3 x + 1) d x$ .
Une primitive de la fonction f définie pour tout réel x par $f (x) = x^{2} - 3 x + 1$ est la fonction F définie par $F (x) = \frac{x^{3}}{3} - \frac{3 x^{2}}{2} + x$ . Par conséquent, $\begin{matrix} \int_{- 1}^{2} (x^{2} - 3 x + 1) d x & = & {[\frac{x^{3}}{3} - \frac{3 x^{2}}{2} + x]}_{- 1}^{2} \\ = & (\frac{8}{3} - 6 + 2) - (- \frac{1}{3} - \frac{3}{2} - 1) \\ = & \frac{3}{2} \end{matrix}$
$A = \int_{- 1}^{2} (x^{2} - 3 x + 1) d x = \frac{3}{2}$
$B = \int_{2}^{6} (\frac{x^{2}}{2} - \frac{2}{x^{2}} - 1) d x$ .
Une primitive de la fonction f définie pour tout réel x non nul par $f (x) = \frac{x^{2}}{2} - \frac{2}{x^{2}} - 1$ est la fonction F définie par $F (x) = \frac{x^{3}}{6} + \frac{2}{x} - x$ . Par conséquent, $\begin{matrix} \int_{2}^{6} (\frac{x^{2}}{2} - \frac{2}{x^{2}} - 1) d x & = & {[\frac{x^{3}}{6} + \frac{2}{x} - x]}_{2}^{6} \\ = & (36 + \frac{1}{3} - 6) - (\frac{4}{3} + 1 - 2) \\ = & 30 \end{matrix}$
$B = \int_{2}^{6} (\frac{x^{2}}{2} - \frac{2}{x^{2}} - 1) d x = 30$
$C = \int_{- 2}^{1} 2 e^{2 x + 1} d x$ .
Une primitive de la fonction f définie pour tout réel x par $f (x) = 2 e^{2 x + 1}$ est la fonction F définie par $F (x) = e^{2 x + 1}$ . Par conséquent, $\begin{matrix} \int_{- 2}^{1} e^{2 x + 1} d x & = & {[e^{2 x + 1}]}_{- 2}^{1} \\ = & e^{3} - e^{- 3} \end{matrix}$
$C = \int_{- 2}^{1} 2 e^{2 x + 1} d x = e^{3} - e^{- 3}$
$D = \int_{0}^{\ln 2} 2 e^{x} \times (e^{x} + 1) d x$ .
Soit f la fonction définie pour tout réel x par $f (x) = 2 e^{x} \times (e^{x} + 1)$ . Pour tout réel x posons $u (x) = e^{x} + 1$ d'où $u' (x) = e^{x}$ .
Par conséquent, $f = 2 u u'$ . Il s'ensuit, qu'une primitive F de la fonction f est de la forme $F = u^{2}$ . Soit pour tout réel x, $F (x) = {(e^{x} + 1)}^{2}$ donc $\begin{matrix} \int_{0}^{\ln 2} 2 e^{x} \times (e^{x} + 1) d x & = & {[{(e^{x} + 1)}^{2}]}_{0}^{\ln 2} \\ = & 3^{2} - 2^{2} \\ = & 5 \end{matrix}$
$D = \int_{0}^{\ln 2} 2 e^{x} \times (e^{x} + 1) d x = 5$
$E = \int_{0,5}^{2} \frac{\ln x}{x} d x$ .
Soit f la fonction définie pour tout réel x strictement positif par $f (x) = \frac{\ln x}{x}$ . Pour tout réel x strictement positif posons $u (x) = \ln x$ d'où $u' (x) = \frac{1}{x}$ .
Par conséquent, $f = u u'$ . Il s'ensuit, qu'une primitive F de la fonction f est de la forme $F = \frac{1}{2} u^{2}$ . Soit pour tout réel x strictement positif, $F (x) = \frac{{(\ln x)}^{2}}{2}$ donc $\begin{matrix} \int_{0,5}^{2} \frac{\ln x}{x} d x & = & {[\frac{{(\ln x)}^{2}}{2}]}_{0,5}^{2} \\ = & \frac{{(\ln 2)}^{2}}{2} - \frac{{(\ln 0,5)}^{2}}{2} \\ = & \frac{{(\ln 2)}^{2}}{2} - \frac{{(- \ln 2)}^{2}}{2} \\ = & 0 \end{matrix}$
$E = \int_{0,5}^{2} \frac{\ln x}{x} d x = 0$

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