contrôle du 08 mars 2014

Corrigé de l'exercice 3

La courbe $C_f$ tracée ci-dessous est la représentation graphique d'une fonction f définie et dérivable sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$. La droite T est tangente à la courbe $C_f$ au point $A\left(1;0\right)$

partie a

1. On note $f\prime$ la dérivée de la fonction f. Déterminer $f\prime \left(1\right)$

   Le nombre dérivé $f\prime \left(1\right)$ est égal au coefficient directeur de la tangente à la courbe au point $A\left(1;0\right)$ or cette tangente passe également par le point de coordonnées $\left(2;3\right)$ d'où $$f\prime \left(1\right)={\displaystyle \frac{3-0}{2-1}}=3$$

   Ainsi, $f\prime \left(1\right)=3$

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2. Soit F la primitive de la fonction fonction f sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ telle que $F\left(2\right)=0$.

   1. Donner le tableau de variations de la fonction F.

      Dire que F est une primitive de la fonction f signifie que pour tout réel x strictement positif, $F\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$. Par conséquent, les variations de la fonction F se déduisent du signe de sa dérivée f :

      x	0			1		4		$+\infty$
      $f\left(x\right)$			−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
      $F\left(x\right)$

   2. Donner une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction F au point d'abscisse 2.

      La tangente à la courbe représentative de la fonction F au point d'abscisse 2 a pour équation :$$y=f\left(2\right)\times \left(x-2\right)+F\left(2\right)$$

      Or par lecture graphique, $f\left(2\right)=1$ et comme $F\left(2\right)=0$

      La tangente à la courbe représentative de la fonction F au point d'abscisse 2 a pour équation $y=x-2$.

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3. Une des quatre courbes ci-dessous est la représentation graphique de la fonction $f\prime$ et une autre de la fonction F. Déterminer la courbe associée à la fonction $f\prime$ et celle qui est associée à la fonction F.

   	La fonction f est décroissante sur l'intervalle $\left[2;+\infty \right[$ donc sur cet intervalle, $f\prime \left(x\right)⩽0$. La courbe $C_2$ est la seule courbe susceptible de représenter la fonction dérivée $f\prime$
   D'après les variations de la fonction F, les courbes $C_3$ et $C_4$ semblent convenir. Or le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de la fonction F au point d'abscisse 2 est égal à 1. La courbe $C_3$ est la seule courbe susceptible de représenter la fonction F

partie b

f est la fonction définie sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)=5-x-{\displaystyle \frac{4}{x}}$

1. Étudier le signe de la fonction f sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$.

   Sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ : $$f\left(x\right)=5-x-{\displaystyle \frac{4}{x}}={\displaystyle \frac{-x^2+5x-4}{x}}$$

   Comme $x>0$, sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$, $f\left(x\right)$ est du même signe que le polynôme du second degré $-x^2+5x-4$ avec $a=-1$, $b=5$ et $c=-4$.
   Le discriminant du trinôme est $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$ d'où : $$\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }=25-16=9\end{array}$$

   $\mathrm{\Delta }>0$ donc le polynôme a deux racines : $$\begin{array}{llll}& x_1={\displaystyle \frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& x_1={\displaystyle \frac{-5-3}{-2}}=4\\ \text{et}& x_2={\displaystyle \frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& x_2={\displaystyle \frac{-5+3}{-2}}=1\end{array}$$

   D'où le tableu du signe de signe de la fonction f sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ :

   x	0			1		4		$+\infty$
   $f\left(x\right)$			−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−

2. Calculer l'aire, exprimée en unité d'aire, du domaine délimité par la courbe $C_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=1$ et $x=4$.

   Sur l'intervalle $\left[2;4\right]$ la fonction f est continue et positive donc l'aire, exprimée en unité d'aire, du domaine délimité par la courbe $C_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=1$ et $x=4$ est égale à l'intégrale de la fonction f entre 1 et 4. Soit

   $$\begin{array}{ccc}{\displaystyle {\int }_1^4\left(5-x-{\displaystyle \frac{4}{x}}\right)\mathrm{d}x}& =& {\displaystyle {\left[5x-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}-4\ln x\right]}_1^4}\hfill \\ & =& \left(20-8-4\ln 4\right)-\left(5-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)\hfill \\ & =& {\displaystyle \frac{15}{2}}-8\ln 2\hfill \end{array}$$

   L'aire du domaine délimité par la courbe $C_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=1$ et $x=4$ est égale à $\left({\displaystyle \frac{15}{2}}-8\ln 2\right)$ unités d'aire.

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3. Étudier la convexité d'une primitive F de la fonction f.

   La convexité d'une primitive F de la fonction f se déduit des variations de la fonction f. Variations qui se déduisent du signe de la dérivée $f\prime$.

   Calculons la dérivée de la fonction f. Pour tout réel x strictement positif : $$\begin{array}{lll}f\prime \left(x\right)& =& -1+{\displaystyle \frac{4}{x^2}}\\ & =& {\displaystyle \frac{4-x^2}{x^2}}\\ & =& {\displaystyle \frac{\left(2-x\right)\left(2+x\right)}{x^2}}\end{array}$$

   x	0			2		$+\infty$
   Signe de $f\prime \left(x\right)$			+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
   Convexité de F			F est convexe		F est concave

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