contrôle du 08 mars 2014

exercice 1

Calculer la valeur exacte de chacune des intégrales suivantes :

1. $A={\displaystyle {\int }_{-1}^2\left(x^2-3x+1\right)\mathrm{d}x}$.

2. $B={\displaystyle {\int }_2^6\left({\displaystyle \frac{x^2}{2}}-{\displaystyle \frac{2}{x^2}}-1\right)\mathrm{d}x}$.

3. $C={\displaystyle {\int }_{-2}^{1}2{\mathrm{e}}^{2x+1}\mathrm{d}x}$.

4. $D={\displaystyle {\int }_0^{\ln 2}2{\mathrm{e}}^x\times \left({\mathrm{e}}^x+1\right)\mathrm{d}x}$.

5. $E={\displaystyle {\int }_{\mathrm{0,5}}^2{\displaystyle \frac{\ln x}{x}}\mathrm{d}x}$.

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exercice 2

partie a

On considère le graphe de sommets A, B, C, D, E et F dont la matrice associée est $M=\left(\begin{array}{cccccc}0& 1& 1& 1& 0& 0\\ 1& 0& 0& 1& 1& 1\\ 1& 0& 0& 1& 0& 1\\ 1& 1& 1& 0& 0& 1\\ 0& 1& 0& 0& 0& 1\\ 0& 1& 1& 1& 1& 0\end{array}\right)$

1. Quel est le nombre d'arêtes de ce graphe ?

2. Ce graphe est-il complet ? Ce graphe est-il connexe ?

3. Ce graphe admet-il une chaîne eulérienne ? Justifier la réponse. Si oui donner une telle chaîne.

partie b

Après avoir chargé son camion à l'entrepôt noté A, un livreur doit livrer cinq clients notés B, C, D, E et F.
Le graphe ci-dessous, modélise le réseau routier en tenant compte des sens de circulation et des temps de parcours en minutes.

1. Quel trajet permet de minimiser le temps de parcours pour effectuer les cinq livraisons ?

2. Après avoir effectué ses livraisons, le livreur doit retourner l'entrepôt. Quel trajet lui permet minimiser son temps de parcours pour le retour ?
   En ne tenant pas compte des arrêts nécessaires pour effectuer les livraisons, le trajet du retour est-il plus rapide que celui de l'aller ?

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exercice 3

La courbe $C_f$ tracée ci-dessous est la représentation graphique d'une fonction f définie et dérivable sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$. La droite T est tangente à la courbe $C_f$ au point $A\left(1;0\right)$

partie a

1. On note $f\prime$ la dérivée de la fonction f. Déterminer $f\prime \left(1\right)$

2. Soit F la primitive de la fonction fonction f sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ telle que $F\left(2\right)=0$.

   1. Donner le tableau de variations de la fonction F.

   2. Donner une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction F au point d'abscisse 2.

3. Une des quatre courbes ci-dessous est la représentation graphique de la fonction $f\prime$ et une autre de la fonction F. Déterminer la courbe associée à la fonction $f\prime$ et celle qui est associée à la fonction F.

partie b

f est la fonction définie sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)=5-x-{\displaystyle \frac{4}{x}}$

1. Étudier le signe de la fonction f sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$.

2. Calculer l'aire, exprimée en unité d'aire, du domaine délimité par la courbe $C_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=1$ et $x=4$.

3. Étudier la convexité d'une primitive F de la fonction f.

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