La courbe tracée ci-dessous est la représentation graphique d'une fonction f définie et dérivable sur .
La tangente T à la courbe au point A passe par le point de coordonnées
On note la dérivée de la fonction fonction f et F une primitive de la fonction fonction f.
Déterminer et
La tangente à la courbe au point d'abscisse 3 est paralèle à l'axe des abscisses donc
Le nombre dérivé est égal au coefficient directeur de la tangente T à la courbe au point A or cette tangente passe également par le point de coordonnées d'où
Ainsi,
Donner le tableau de variations de la fonction F.
Dire que F est une primitive de la fonction f signifie que pour tout réel x, . Par conséquent, les variations de la fonction F se déduisent du signe de sa dérivée f :
x | − ∞ | 5 | |||
+ | − | ||||
Une des trois courbes ci-dessous est la représentation graphique de la fonction et une autre celle de la fonction F.
Déterminer la courbe associée à la fonction et celle qui est associée à la fonction F.
La fonction f est croissante sur l'intervalle donc sur cet intervalle, . La courbe est la seule des trois courbes susceptible de représenter la fonction | |
D'après les variations de la fonction F, le maximum de la fonction F est atteint pour . La courbe est la seule courbe susceptible de représenter la fonction F |
La courbe représentative de la fonction F admet-elle des points d'inflexion ?
Comme F est une primitive de la fonction f, la dérivée seconde de la fonction F est la fonction . Or s'annule en changeant de signe pour et .
La courbe représentative de la fonction F admet deux points d'inflexion en − 1 et 3.
Donner une valeur approchée (en unité d'aire) de l'aire du domaine colorié.
Sur l'intervalle la fonction f est positive donc l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe , l'axe des abscisses et les droites d'équation et est égale à l'intégrale de la fonction f sur l'intervalle .
Or par lecture graphique sur la courbe , et d'où
L'aire du domaine colorié est égale à environ 9 unités d'aire.
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