contrôles en terminale ES

bac blanc du 08 avril 2014

Corrigé de l'exercice 1

La courbe Cf tracée ci-dessous est la représentation graphique d'une fonction f définie et dérivable sur .
La tangente T à la courbe Cf au point A passe par le point de coordonnées (4;3)
On note f la dérivée de la fonction fonction f et F une primitive de la fonction fonction f.

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  1. Déterminer f(3) et f(5)

    • La tangente à la courbe Cf au point d'abscisse 3 est paralèle à l'axe des abscisses donc f(3)=0


    • Le nombre dérivé f(5) est égal au coefficient directeur de la tangente T à la courbe Cf au point A or cette tangente passe également par le point de coordonnées (4;3) d'où f(5)=3-04-5=-3

      Ainsi, f(5)=-3


  2. Donner le tableau de variations de la fonction F.

    Dire que F est une primitive de la fonction f signifie que pour tout réel x, F(x)=f(x). Par conséquent, les variations de la fonction F se déduisent du signe de sa dérivée f :

    x− ∞5+
    f(x)+0||
    F(x) fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur. fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  3. Une des trois courbes ci-dessous est la représentation graphique de la fonction f et une autre celle de la fonction F.
    Déterminer la courbe associée à la fonction f et celle qui est associée à la fonction F.

    Courbe C1 : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    La fonction f est croissante sur l'intervalle [-1;3] donc sur cet intervalle, f(x)0.

    La courbe C1 est la seule des trois courbes susceptible de représenter la fonction f


    Courbe C2 : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
    Courbe C3 : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    D'après les variations de la fonction F, le maximum de la fonction F est atteint pour x=5.

    La courbe C3 est la seule courbe susceptible de représenter la fonction F


  4. La courbe représentative de la fonction F admet-elle des points d'inflexion ?

    Comme F est une primitive de la fonction f, la dérivée seconde de la fonction F est la fonction f. Or f s'annule en changeant de signe pour x=-1 et x=3.

    La courbe représentative de la fonction F admet deux points d'inflexion en − 1 et 3.


  5. Donner une valeur approchée (en unité d'aire) de l'aire du domaine colorié.

    Sur l'intervalle [-1;5] la fonction f est positive donc l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe Cf, l'axe des abscisses et les droites d'équation x=-1 et x=5 est égale à l'intégrale de la fonction f sur l'intervalle [-1;5]. -15f(x)dx=F(5)-F(-1)

    Or par lecture graphique sur la courbe C3, F(5)4 et F(-1)-5 d'où F(5)-F(-1)4-(-5)9

    L'aire du domaine colorié est égale à environ 9 unités d'aire.



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