bac blanc du 08 avril 2014

exercice 1

La courbe $C_f$ tracée ci-dessous est la représentation graphique d'une fonction f définie et dérivable sur $ℝ$.
La tangente T à la courbe $C_f$ au point A passe par le point de coordonnées $\left(4;3\right)$
On note $f\prime$ la dérivée de la fonction fonction f et F une primitive de la fonction fonction f.

1. Déterminer $f\prime \left(3\right)$ et $f\prime \left(5\right)$

2. Donner le tableau de variations de la fonction F.

3. Une des trois courbes ci-dessous est la représentation graphique de la fonction $f\prime$ et une autre celle de la fonction F.
   Déterminer la courbe associée à la fonction $f\prime$ et celle qui est associée à la fonction F.

4. La courbe représentative de la fonction F admet-elle des points d'inflexion ?

5. Donner une valeur approchée (en unité d'aire) de l'aire du domaine colorié.

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exercice 2

D'après sujet bac Amérique du sud 2013

Dans un pays, suite à une élection, un institut de sondage publie chaque mois la cote de popularité du président (c'est-à-dire le pourcentage de personnes ayant une opinion favorable à l'action qu'il mène). Ce sondage résulte d'une enquête réalisée auprès d'un échantillon de la population du pays.

Les enquêtes réalisées révèlent que d'un mois à l'autre :

• 6 % des personnes qui étaient favorables ne le sont plus ;
• 4 % des personnes qui n'étaient pas favorables le deviennent.

On interroge au hasard une personne dans la population du pays et on note :

• $F_0$ l'évènement « la personne interrogée a une opinion favorable dès l'élection du président » de probabilité $p_0$ et $\overline{F_0}$ son évènement contraire ;
• $F_1$ l'évènement « la personne interrogée le 1^er mois a une opinion favorable » de probabilité $p_1$ et $\overline{F_1}$ son évènement contraire.

1. 1. Recopier et compléter l'arbre pondéré suivant.

   2. Montrer que $p_1=\mathrm{0,9}{p}_0+\mathrm{0,04}$.

   Pour la suite de l'exercice, on donne $p_0=\mathrm{0,55}$ et on note, pour tout entier naturel n, $F_n$ l'évènement « la personne interrogée le n-ième mois a une opinion favorable » et $p_n$ sa probabilité.
   On admet de plus, que pour tout entier naturel n, $p_{n+1}=\mathrm{0,9}{p}_n+\mathrm{0,04}$.

2. On considère l'algorithme suivant :

   Variables :	I et N sont des entiers naturels P est un nombre réel
   Entrée :	Saisir N
   Initialisation :	P prend la valeur 0,55
   Traitement :	Pour J allant de 1 à N P prend la valeur $\mathrm{0,9}P+\mathrm{0,04}$ Fin pour
   Sortie :	Afficher P

   1. Écrire ce qu'affiche cet algorithme lorsque l'utilisateur entre la valeur $N=1$.

   2. Donner le rôle de cet algorithme.

3. On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel n par : $u_n=p_n-\mathrm{0,4}$.

   1. Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,9 et préciser la valeur de son premier terme $u_0$.

   2. En déduire l'expression de $u_n$ en fonction de n puis l'expression de $p_n$ en fonction de n.

   3. Déterminer la limite de la suite $\left(p_n\right)$ et interpréter le résultat.

4. 1. Résoudre dans l'ensemble des entiers naturels l'inéquation $\mathrm{0,15}\times {\mathrm{0,9}}^n+\mathrm{0,4}⩽\mathrm{0,45}$.

   2. Interpréter le résultat trouvé.

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exercice 3

On considère le graphe ci-dessous :

1. On appelle M la matrice associée à ce graphe, les sommets étant pris dans l'ordre alphabétique.
   Une des trois matrices R, S ou T est la matrice $M^3$.
   $R=\left(\begin{array}{ccccccc}4& 2& 2& 3& 3& 4& 1\\ 2& 4& 2& 3& 1& 1& 3\\ 2& 2& 3& 2& 2& 0& 2\\ 3& 3& 2& 5& 2& 2& 2\\ 3& 1& 2& 2& 4& 1& 2\\ 1& 1& 0& 2& 1& 2& 1\\ 1& 4& 2& 2& 2& 1& 4\end{array}\right)$ $S=\left(\begin{array}{rrrrrrr}8& 12& 9& 12& 7& 4& 11\\ 12& 8& 9& 12& 11& 4& 7\\ 9& 9& 6& 11& 6& 4& 6\\ 12& 12& 11& 12& 12& 4& 12\\ 7& 11& 6& 12& 6& 6& 10\\ 4& 4& 4& 4& 6& 2& 6\\ 11& 7& 6& 12& 10& 6& 6\end{array}\right)$ $T=\left(\begin{array}{ccccccc}4& 1& 2& 2& 3& 4& 1\\ 2& 4& 2& 3& 1& 2& 3\\ 1& 2& 3& 2& 2& 1& 2\\ 3& 3& 2& 6& 3& 2& 3\\ 2& 1& 2& 3& 4& 2& 2\\ 2& 2& 1& 2& 2& 3& 2\\ 2& 3& 2& 3& 2& 2& 4\end{array}\right)$
   Sans calculer la matrice $M^3$, indiquer quelle est la matrice $M^3$ en justifiant votre choix.

2. Ce graphe est-il complet ? Ce graphe est-il connexe ?

3. Ce graphe admet-il une chaîne eulérienne ? Justifier la réponse. Si oui donner une telle chaîne.

4. Un représentant, a modélisé à l'aide du graphe ci-dessous le réseau routier reliant différents clients notés A, B, C, D, E, F et G. Les arêtes sont pondérés par les distances en kilomètre à parcourir.

   Après avoir visité le client C, ce représentant souhaite se rendre chez le client D.

   1. En précisant la méthode utilisée, déterminer le trajet le plus court (en kilomètres) pour aller de C à D. Préciser la longueur en kilomètres de ce trajet.

   2. Existe-t-il un parcours de même distance permettant à ce représentant de visiter tous ses clients ?

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exercice 4

D'après sujet bac France (annulé) 2013

Dans un laboratoire, des scientifiques ont étudié pendant 10 ans l'effet de la pollution sur une population d'insectes car ils craignaient l'extinction de cette espèce.
L'étude a été effectuée sur un échantillon de 25000 insectes.

Les deux parties peuvent être traitées indépendamment l'une de l'autre.

partie a :

Une étude a permis de montrer que la population d'insectes diminue très rapidement lors des quatre premières années. La population peut être modélisée par la fonction f définie sur l'intervalle $\left[0;4\right]$ par $f\left(t\right)=25{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}t}$ , où t est le temps exprimé en années et $f\left(t\right)$ le nombre de milliers d'insectes.

1. Calculer le pourcentage de diminution du nombre d'insectes la première année. Arrondir à 1 %.

2. 1. Montrer que la fonction F définie sur l'intervalle $\left[0;4\right]$ par $F\left(t\right)=-50{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}t}$ est une primitive de la fonction f sur l'intervalle $\left[0;4\right]$ .

   2. Calculer la valeur exacte de ${\displaystyle {\int }_2^{4}25{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}t}\mathrm{d}t}$ .

   3. En déduire la population moyenne d'insectes entre le début de la deuxième et le début de la quatrième année.

partie b :

Après de longues recherches, un biologiste a mis au point un traitement pour essayer de sauver cette espèce. Ce traitement est administré aux insectes à partir de la quatrième année.
L'évolution de la population est alors modélisée par la fonction g définie sur l'intervalle $\left[4;10\right]$ par : $g\left(t\right)=20{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,1}{t}^2}+t-\mathrm{4,65}$ .

1. On désigne par $g\prime$ la fonction dérivée de la fonction g.
   Montrer que pour tout réel t de l'intervalle $\left[4;10\right]$ , $g\prime \left(t\right)=-4t{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,1}{t}^2}+1$ .

2. On admet que la fonction $g\prime$ est continue et strictement croissante sur l'intervalle $\left[4;10\right]$ .
   Montrer que l'équation $g\prime \left(t\right)=0$ a une solution et une seule α dans l'intervalle $\left[4;10\right]$ .
   Donner la valeur arrondie au dixième de α.

3. 1. En déduire le signe de $g\prime \left(t\right)$ sur l'intervalle $\left[4;10\right]$ .

   2. Donner le sens de variation de la fonction g sur l'intervalle $\left[4;10\right]$ .

   3. Que peut-on supposer quant à l'effet du traitement sur la population d'insectes ?

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