contrôles en terminale ES

bac blanc du 08 avril 2014

Corrigé de l'exercice 4

Dans un laboratoire, des scientifiques ont étudié pendant 10 ans l'effet de la pollution sur une population d'insectes car ils craignaient l'extinction de cette espèce.
L'étude a été effectuée sur un échantillon de 25000 insectes.

Les deux parties peuvent être traitées indépendamment l'une de l'autre.

partie a :

Une étude a permis de montrer que la population d'insectes diminue très rapidement lors des quatre premières années. La population peut être modélisée par la fonction f définie sur l'intervalle $[0; 4]$ par $f (t) = 25 e^{- 0,5 t}$ , où t est le temps exprimé en années et $f (t)$ le nombre de milliers d'insectes.

Calculer le pourcentage de diminution du nombre d'insectes la première année. Arrondir à 1 %.
Le taux de variation de la fonction f entre les instants $t = 0$ et $t = 1$ est : $\frac{f (1) - f (0)}{f (0)} = \frac{25 e^{- 0,5} - 25}{25} \approx - 0,39$
Le nombre d'insectes a dimnué de 39 % la première année.
1. Montrer que la fonction F définie sur l'intervalle $[0; 4]$ par $F (t) = - 50 e^{- 0,5 t}$ est une primitive de la fonction f sur l'intervalle $[0; 4]$ .
  Une primitive de la fonction f est la fonction F définie sur l'intervalle $[0; 4]$ par $F (t) = 25 \times \frac{1}{- 0,5} \times e^{- 0,5 t} = - 50 e^{- 0,5 t}$
  Ainsi, la fonction F définie sur l'intervalle $[0; 4]$ par $F (t) = - 50 e^{- 0,5 t}$ est une primitive de la fonction f.
2. Calculer la valeur exacte de $\int_{2}^{4} 25 e^{- 0,5 t} d t$ .
  Comme F est une primitive de la fonction f : $\begin{matrix} \int_{2}^{4} 25 e^{- 0,5 t} d t & = & F (4) - F (2) \\ = & - 50 e^{- 2} + 50 e^{- 1} \end{matrix}$
  $\int_{2}^{4} 25 e^{- 0,5 t} d t = 50 (e^{- 1} - e^{- 2})$ .
3. En déduire la population moyenne d'insectes entre le début de la deuxième et le début de la quatrième année.
  La valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle $[4; 10]$ est : $\frac{1}{4 - 2} \times \int_{2}^{4} 25 e^{- 0,5 t} d t = \frac{50 (e^{- 1} - e^{- 2})}{2} \approx 5,813$
  La population annuelle moyenne d'insectes entre le début de la deuxième et le début de la quatrième année est de 5 800 insectes.

partie b :

Après de longues recherches, un biologiste a mis au point un traitement pour essayer de sauver cette espèce. Ce traitement est administré aux insectes à partir de la quatrième année.
L'évolution de la population est alors modélisée par la fonction g définie sur l'intervalle $[4; 10]$ par : $g (t) = 20 e^{- 0,1 t^{2}} + t - 4,65$ .

On désigne par $g'$ la fonction dérivée de la fonction g. Montrer que pour tout réel t de l'intervalle $[4; 10]$ , $g' (t) = - 4 t e^{- 0,1 t^{2}} + 1$ .
Pour tout réel t de l'intervalle $[4; 10]$ , $g' (t) = 20 \times (- 0,2 t e^{- 0,1 t^{2}}) + 1 = - 4 t e^{- 0,1 t^{2}} + 1$
Ainsi, la dérivée de la fonction g est la fonction définie pour tout réel t de l'intervalle $[4; 10]$ par $g' (t) = - 4 t e^{- 0,1 t^{2}} + 1$ .
On admet que la fonction $g'$ est continue et strictement croissante sur l'intervalle $[4; 10]$ .
Montrer que l'équation $g' (t) = 0$ a une solution et une seule α dans l'intervalle $[4; 10]$ . Donner la valeur arrondie au dixième de α.
La fonction $g'$ est continue et strictement croissante sur l'intervalle $[4; 10]$ avec $g' (4) = - 16 e^{- 1,6} + 1 \approx - 2,23$ et $g' (10) = - 40 e^{- 10} + 1 \approx 0,998$ . D'après le théorème de la valeur intermédiaireSi une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle $[a; b]$ , alors pour tout réel k compris entre $f (a)$ et $f (b)$ , l'équation $f (x) = k$ admet une solution unique α située dans l'intervalle $[a; b]$ .,
l'équation $g' (t) = 0$ a une solution unique α dans l'intervalle $[4; 10]$ . Arrondie à 0,1 près, $α \approx 5,6$ .

En déduire le signe de $g' (t)$ sur l'intervalle $[4; 10]$ .
La fonction $g'$ est strictement croissante sur l'intervalle $[4; 10]$ et $g' (α) = 0$ . Donc :
- Sur l'intervalle $[4; α [$ , $g' (α) < 0$
- Sur l'intervalle $] α; 10]$ , $g' (α) > 0$

Donner le sens de variation de la fonction g sur l'intervalle $[4; 10]$ .

Les variations de la fonction g se déduisent du signe de sa dérivée d'où le tableau des variations de g :

t	4		α		10
Signe de $g' (t)$		−	$0_{\|}^{\|}$	+
Variations de g

Que peut-on supposer quant à l'effet du traitement sur la population d'insectes ?
Au cours de la sixième année le traitement permet d'inverser la tendance.

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