contrôles en terminale ES

contrôle du 10 mai 2014

Corrigé de l'exercice 2 (spécialité)

Après avoir effectué quelques parties au jeu « 2048 » Léa a constaté que sur une journée :

quand elle gagne une partie, la probabilité qu'elle gagne la partie suivante est égale à 0,64.
quand elle a perdue, la probabilité qu'elle gagne la partie suivante est égale à 0,14.

On note G l'état : « Léa a gagné la partie » et P l'état : « Léa a perdu la partie ».

Pour un jour donné, on note également pour tout entier naturel n :

$g_{n}$ la probabilité que Léa gagne lors de la n-ième partie de la journée ;
$p_{n}$ la probabilité que Léa perde lors du n-ième partie de la journée ;
$E_{n} = (\begin{matrix} g_{n} & p_{n} \end{matrix})$ la matrice ligne donnant l'état probabiliste du système lors du n-ième partie de la journée.

On suppose que la veille du jour considéré, Léa avait gagné sa dernière partie, on a donc $g_{0} = 1$ et $E_{0} = (\begin{matrix} 1 & 0 \end{matrix})$ .

1. Traduire les données par un graphe probabiliste.
  Si Léa gagne une partie, la probabilité qu'elle gagne la partie suivante est égale à 0,64 d'où $p_{G_{n}} (G_{n + 1}) = 0,64$ et $p_{G_{n}} (P_{n + 1}) = 0,36$
  Si Léa a perdue, la probabilité qu'elle gagne la partie suivante est égale à 0,14. d'où $p_{P_{n}} (G_{n + 1}) = 0,14$ et $p_{P_{n}} (P_{n + 1}) = 0,86$
  D'où le graphe probabiliste correspondant à cette situation :
2. Préciser la matrice M de transition associée à ce graphe.
  La matrice de transition M de ce graphe telle que $(\begin{matrix} g_{n + 1} & p_{n + 1} \end{matrix}) = (\begin{matrix} g_{n} & p_{n} \end{matrix}) \times M$ est : $M = (\begin{matrix} 0,64 & 0,36 \\ 0,14 & 0,86 \end{matrix})$ .
3. Calculer la probabilité que Léa gagne sa troisième partie.
  L'état intial est $E_{0} = (\begin{matrix} 1 & 0 \end{matrix})$ . L'état $E_{3}$ à la troisième partie est : $\begin{matrix} E_{3} = E_{0} \times M^{3} & Soit & E_{3} = (\begin{matrix} 1 & 0 \end{matrix}) \times {(\begin{matrix} 0,64 & 0,36 \\ 0,14 & 0,86 \end{matrix})}^{3} & \Leftrightarrow & E_{3} = (\begin{matrix} 0,37 & 0,63 \end{matrix}) \end{matrix}$
  La probabilité que Léa gagne la troisième partie est égale à 0,37.
4. Déterminer l'état stable du graphe probabiliste.
  Les termes de la matrice de tansition M d'ordre 2 ne sont pas nuls, alors l'état $E_{n}$ converge vers un état stable $E = (\begin{matrix} g & p \end{matrix})$ vérifiant : $\begin{matrix} (\begin{matrix} g & p \end{matrix}) = (\begin{matrix} g & p \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 0,64 & 0,36 \\ 0,14 & 0,86 \end{matrix}) & \Leftrightarrow & (\begin{matrix} g & p \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0,64 g + 0,14 p & 0,36 g + 0,86 p \end{matrix}) \end{matrix}$
  D'où g et p vérifient la relation $g = 0,64 g + 0,14 p$ . Comme d'autre part, $g + p = 1$ on en déduit que g et p sont solutions du système : $\begin{matrix} {\begin{matrix} g = 0,64 g + 0,14 p \\ g + p = 1 \end{matrix} & \Leftrightarrow & {\begin{matrix} 0,36 g - 0,14 p = 0 \\ g + p = 1 \end{matrix} & \Leftrightarrow & {\begin{matrix} 0,5 g = 0,14 \\ g + p = 1 \end{matrix} & \Leftrightarrow & {\begin{matrix} g = 0,28 \\ p = 0,72 \end{matrix} \end{matrix}$
  L'état stable du système est $E = (\begin{matrix} 0,28 & 0,72 \end{matrix})$ .
Montrer que pour tout entier naturel n, on a $g_{n + 1} = 0,5 g_{n} + 0,14$ .
Pour tout entier n, $\begin{matrix} E_{n + 1} = E_{n} \times M & \Leftrightarrow & (\begin{matrix} g_{n + 1} & p_{n + 1} \end{matrix}) = (\begin{matrix} g_{n} & p_{n} \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 0,64 & 0,36 \\ 0,14 & 0,86 \end{matrix}) \\ \Leftrightarrow & (\begin{matrix} g_{n + 1} & p_{n + 1} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0,64 g_{n} + 0,14 p_{n} & 0,36 g_{n} + 0,86 p_{n} \end{matrix}) \end{matrix}$
Soit $g_{n + 1} = 0,64 g_{n} + 0,14 p_{n}$ avec pour tout entier n, $g_{n} + p_{n} = 1$ . D'où $g_{n + 1} = 0,64 g_{n} + 0,14 \times (1 - g_{n}) = 0,5 g_{n} + 0,14$
Ainsi, pour tout entier n, $g_{n + 1} = 0,5 g_{n} + 0,14$ .
On considère la suite $(u_{n})$ définie pour tout entier naturel n par $u_{n} = g_{n} - 0,28$ .
1. Montrer que $(u_{n})$ est une suite géométrique, préciser sa raison et son premier terme.
  Pour tout entier n, $\begin{matrix} u_{n + 1} = g_{n + 1} - 0,28 & \Leftrightarrow & u_{n + 1} = 0,5 g_{n} + 0,14 - 0,28 \\ \Leftrightarrow & u_{n + 1} = 0,5 g_{n} - 0,14 \\ \Leftrightarrow & u_{n + 1} = 0,5 \times (g_{n} - 0,28) \\ \Leftrightarrow & u_{n + 1} = 0,5 u_{n} \end{matrix}$
  Ainsi, pour tout entier n, $u_{n + 1} = 0,5 u_{n}$ donc $(u_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,5. Or $\begin{matrix} u_{0} = g_{0} - 0,28 & Soit & u_{0} = 0,72 \end{matrix}$
  $(u_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,5 et de premier terme $u_{0} = 0,72$ .
2. En déduire que pour tout entier naturel n, $g_{n} = 0,72 \times {0,5}^{n} + 0,28$ .
  $(u_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,5 et de premier terme $u_{0} = 0,72$ donc pour tout entier n, $u_{n} = 0,72 \times {0,5}^{n}$ .
  Comme pour tout entier naturel n, $u_{n} = g_{n} - 0,28$ on en déduit que :
  pour tout entier naturel n, $g_{n} = 0,72 \times {0,5}^{n} + 0,28$ .
À partir de combien de parties dans la journée la probabilité que Léa gagne sa partie sera-t-elle strictement inférieure à 0,3 ?
Soit n le plus petit entier tel que $g_{n} < 0,3$ : $\begin{matrix} 0,72 \times {0,5}^{n} + 0,28 < 0,3 & \Leftrightarrow & 0,72 \times {0,5}^{n} < 0,02 \\ \Leftrightarrow & {0,5}^{n} < \frac{1}{36} \\ \Leftrightarrow & \ln ({0,5}^{n}) < \ln \frac{1}{36} & La fonction \ln est strictement croissante \\ \Leftrightarrow & n \ln 0,5 < - \ln 36 & Pour tout réel a strictement positif et pour tout entier n, \ln a^{n} = n \ln a \\ \Leftrightarrow & n > \frac{- \ln 36}{\ln 0,5} & \ln 0,5 < 0 \end{matrix}$
Comme $\frac{- \ln 36}{\ln 0,5} = \frac{\ln 36}{\ln 2} \approx 5,2$ , le plus petit entier n tel que $g_{n} < 0,3$ est 6.
À partir de la sixième partie de la journée, la probabilité que Léa gagne sa partie sera inférieure à 0,3.

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