contrôle du 10 mai 2014

Corrigé de l'exercice 3

La courbe $C_f$ tracée ci-dessous dans le plan muni d'un repère orthogonal est la courbe représentative d'une fonction f définie et dérivable sur $ℝ$.
La droite T est tangente à la courbe $C_f$ au point d'abscisse 0.

partie a - Lecture graphique

1. On désigne par $f\prime$ la fonction dérivée de la fonction f. Par lecture graphique, déterminer $f\prime \left(0\right)$.

   Le nombre dérivé $f\prime \left(0\right)$ est égal au coefficient directeur de la tangente T à la courbe $C_f$ au point $A\left(0;1\right)$ or cette tangente passe également par le point $A\left(1;4\right)$ d'où :

   $f\prime \left(0\right)=4$

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2. Soit F une primitive de f. Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse.

   F est une primitive de la fonction f donc les variations de la fonction F se déduisent du signe de sa dérivée f :

   x	$-\infty$		0		$+\infty$
   $f\left(x\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
   $F\left(x\right)$

   • proposition a : Sur l'intervalle $\left[5;+\infty \right[$, la fonction F est croissante.

     La fonction F est croissante sur $\left[0;+\infty \right[$ donc la proposition A est vraie.

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   • proposition b : $F\left(-1\right)⩽F\left(0\right)$.

     La fonction F est décroissante sur $\left]-\infty ;0\right]$ donc $F\left(-1\right)⩾F\left(0\right)$ la proposition B est fausse.

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   • proposition c : $12⩽F\left(5\right)-F\left(0\right)⩽18$.

     Sur l'intervalle $\left[0;5\right]$ la fonction f est continue et positive donc l'aire, exprimée en unité d'aire, du domaine délimité par la courbe $C_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=0$ et $x=5$ est égale à l'intégrale de la fonction f entre 0 et 5, soit $F\left(5\right)-F\left(0\right)$

     L'aire du domaine colorié est comprise entre 12 et 18 unités d'aire donc la proposition C est vraie.

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partie b- Calcul d'aire

La fonction f est définie pour tout réel x par $f\left(x\right)=4x{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,4}x}$.

1. On cherche une primitive F de la fonction f de la forme $F\left(x\right)=\left(ax+b\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,4}x}$ avec a et b deux nombres réels.

   1. Montrer que a et b sont solutions du système d'équations suivant : $\{\begin{array}{ccc}\hfill -\mathrm{0,4}a& =& 4\\ \hfill a-\mathrm{0,4}b& =& 0\end{array}$

      F est une primitive de la fonction f alors pour tout réel x, $F\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$. Calculons la dérivée de la fonction F :

      $F=uv$ d'où $F\prime =u\prime v+uv\prime$ avec pour tout réel x, $\{\begin{array}{ccc}u\left(x\right)=ax+b\hfill & \text{;}& u\prime \left(x\right)=a\hfill \\ v\left(x\right)={\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,4}x}\hfill & \text{;}& v\prime \left(x\right)=-\mathrm{0,4}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,4}x}\hfill \end{array}$

      Soit pour tout réel x, $$\begin{array}{ccc}F\prime \left(x\right)& =& a{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,4}x}-\mathrm{0,4}\times \left(ax+b\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,4}x}\hfill \\ & =& \left(-\mathrm{0,4}ax+a-\mathrm{0,4}b\right)\times {\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,4}x}\hfill \end{array}$$

      Ainsi, $F\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$ pour tout réel x tel que $-\mathrm{0,4}ax+a-\mathrm{0,4}b=4x$. C'est à dire :

      pour les réels a et b solutions du système d'équations : $\{\begin{array}{ccc}\hfill -\mathrm{0,4}a& =& 4\\ \hfill a-\mathrm{0,4}b& =& 0\end{array}$

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   2. Calculer a et b et donner l'expression de $F\left(x\right)$.

      $$\begin{array}{ccccc}\{\begin{array}{ccc}\hfill -\mathrm{0,4}a& =& 4\\ \hfill a-\mathrm{0,4}b& =& 0\end{array}& \iff & \{\begin{array}{ccc}\hfill a& =& -10\\ \hfill -10-\mathrm{0,4}b& =& 0\end{array}& \iff & \{\begin{array}{ccc}\hfill a& =& -10\\ \hfill b& =& -25\end{array}\end{array}$$

      F est la fonction définie pour tout réel x par $F\left(x\right)=\left(-10x-25\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,4}x}$.

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2. On note A l'aire, exprimée en unité d'aire, du domaine colorié sur le graphique. Déterminer la valeur exacte de A.

   f est dérivable sur $ℝ$ donc continue sur $ℝ$. D'autre part, $$4x{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,4}x}⩾0\iff x⩾0$$

   Sur l'intervalle $\left[0;5\right]$ la fonction f est continue et positive donc l'aire, exprimée en unité d'aire, du domaine délimité par la courbe $C_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=0$ et $x=5$ est égale à l'intégrale de la fonction f entre 0 et 5. Soit

   $$\begin{array}{ccc}{\displaystyle {\int }_0^{5}f\left(x\right)\mathrm{d}x}& =& F\left(5\right)-F\left(0\right)\hfill \\ & =& -75{\mathrm{e}}^{-2}+25\hfill \end{array}$$

   L'aire A du domaine colorié est égale à $25-75{\mathrm{e}}^{-2}$ unités d'aire.

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