contrôle du 29 septembre 2014

exercice 1

Le 1^er janvier 2014, la médiathèque d'une commune disposait d'un stock de 40 000 ouvrages.
Chaque année, le gestionnaire supprime 8 % des ouvrages, trop usagés ou abîmés, et achète 6 000 ouvrages neufs.
On s'intéresse à l'évolution du nombre de milliers d'ouvrages disponibles au 1^er janvier de chaque année.
La situation est modélisée par une suite $\left(u_n\right)$ où le terme $u_n$ est le nombre, en milliers, d'ouvrages disponibles le 1^er janvier de l'année $\left(2014+n\right)$.

1. Calculer le nombre d'ouvrages disponibles au 1^er janvier 2015 et au 1^er janvier 2016.

2. Donner une expression de $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$.

3. Des travaux de réaménagement des locaux seront nécessaires dès que le stock dépassera 50 000 ouvrages.
   On considère l'algorithme suivant :

   Variables :	N un nombre entier naturel
   	U un nombre réel
   Initialisation :	Affecter à N la valeur 0
   	Affecter à U la valeur 40
   Traitement :	Tant_que $U⩽50$ :
   	Affecter à N la valeur $N+1$ Affecter à U la valeur $\mathrm{0,92}\times U+6$
   	Fin Tant_que
   Sortie :	Afficher $2014+N$

   Recopier et compléter le tableau suivant autant que nécessaire en arrondissant les résultats au millième près. Quel nombre obtient-on en sortie de l'algorithme? Interpréter ce résultat.

   N	0	1	…
   U	40		…
   Condition $U⩽50$	Vrai		…

4. On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel n par $v_n=u_n-75$.

   1. Démontrer que $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.

   2. Exprimer $v_n$, en fonction de n. En déduire que, pour tout entier naturel n, $u_n=75-35\times {\mathrm{0,92}}^n$.

5. Étudier la monotonie de la suite $\left(u_n\right)$.

6. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$. Interpréter ce résultat.

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exercice 2

On considère une fonction f définie sur ℝ et deux fois dérivable. On donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction $f″$, dérivée seconde de la fonction f, dans un repère orthonormé.
Les points $A\left(-2;0\right)$ et $B\left(3;0\right)$ appartiennent à la courbe.

Chaque réponse sera justifiée.

1. La courbe représentative de f admet-elle des points d'inflexion ?

2. Sur quels intervalles, la fonction est-elle convexe ? Est-elle concave ?

3. On note $f\prime$ la dérivée de la fonction f. Donner le tableau de variation de la fonction $f\prime$.

4. Une des deux courbes ci-dessous est la représentation graphique de la fonction f et l'autre celle de $f\prime$. Déterminer la courbe qui représente la fonction f et celle qui représente la dérivée $f\prime$.

   Courbe 1	Courbe 2

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exercice 3

partie a

Soit f la fonction définie pour tout réel x par $f\left(x\right)=-x^3+\mathrm{16,5}{x}^2-30x+110$.
On note $f\prime$ la dérivée de la fonction f et $f″$ la dérivée seconde.

1. 1. Déterminer $f\prime \left(x\right)$.

   2. Étudier les variations de la fonction f.

2. 1. Déterminer $f″\left(x\right)$.

   2. Étudier la convexité de la fonction f.

partie b

La fonction f, définie dans la partie A, modélise sur l'intervalle $\left[0;12\right]$, le cours d'une action sur une année.
x est le temps écoulé exprimé en mois et $f\left(x\right)$ est le cours de l'action en euros.

1. Sur un an, quel a été le cours le plus bas de cette action ? le cours le plus haut ?

2. À quel moment la croissance du cours de cette action s'est-elle ralentie ?

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