contrôle du 28 mars 2015

Corrigé de l'exercice 3

On considère la fonction f définie pour tout réel x strictement positif par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{1-\ln \left(x\right)}{x}}$ et on note $C_f$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormé.

1. Déterminer l'abscisse du point d'intersection de la courbe $C_f$ avec l'axe des abscisses.

   L'abscisse du point $A\left(x;0\right)$ intersection de la courbe $C_f$ avec l'axe des abscisses est solution de l'équation $f\left(x\right)=0$.

   Pour tout réel x strictement positif : $$\begin{array}{lll}{\displaystyle \frac{1-\ln \left(x\right)}{x}}=0& \iff & 1-\ln \left(x\right)=0\\ & \iff & \ln \left(x\right)=1\\ & \iff & x=\mathrm{e}\end{array}$$

   La courbe $C_f$ coupe l'axe des abscisses au point $A\left(\mathrm{e};0\right)$.

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2. 1. La fonction f est dérivable sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$, on note $f\prime$ sa fonction dérivée. Calculer $f\prime \left(x\right)$.

      La fonction f est dérivable comme quotient de deux fonctions dérivables sur $\left]0;+\infty \right[$. $f={\displaystyle \frac{u}{v}}$ d'où $f\prime ={\displaystyle \frac{u\prime v-uv\prime }{v^2}}$ avec pour tout réel x strictement positif, $\{\begin{array}{ccc}u\left(x\right)=1-\ln \left(x\right)\hfill & \text{;}& u\prime \left(x\right)=-{\displaystyle \frac{1}{x}}\hfill \\ v\left(x\right)=x\hfill & \text{;}& v\prime \left(x\right)=1\hfill \end{array}$

      Soit pour tout réel x, $$\begin{array}{ccc}f\prime \left(x\right)& =& {\displaystyle \frac{-{\displaystyle \frac{1}{x}}\times x-\left(1-\ln \left(x\right)\right)}{x^2}}\hfill \\ & =& {\displaystyle \frac{-2+\ln \left(x\right)}{x^2}}\hfill \end{array}$$

      Ainsi, $f\prime$ est la fonction définie pour tout réel x strictement positif, par $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{\ln \left(x\right)-2}{x^2}}$.

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   2. Étudier les variations de la fonction f sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$.

      Les variations de la fonction f sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ se déduisent du signe de sa dérivée.

      Or $f\prime$ est définie sur $\left]0;+\infty \right[$ par $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{\ln \left(x\right)-2}{x^2}}$ donc $f\prime \left(x\right)$ est du même signe que $\ln \left(x\right)-2$ : $$\begin{array}{lll}\ln \left(x\right)-2⩽0& \iff & \ln \left(x\right)⩽2\\ & \iff & 0<x⩽{\mathrm{e}}^2\end{array}$$

      Nous pouvons en déduire le tableau des variations de la fonction f sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ :

      x		0			${\mathrm{e}}^2$		$+\infty$
      $f\prime \left(x\right)$				−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
      $f\left(x\right)$					$-{\mathrm{e}}^{-2}$

3. Le point $B\left(0;3\right)$ appartient-il à la droite T tangente à la courbe $C_f$ au point d'abscisse 1 ?

   Une équation de la tangente T à la courbe $C_f$ au point B d'abscisse 1 est :$$y=f\prime \left(1\right)\times \left(x-1\right)+f\left(1\right)$$

   Or $f\left(1\right)=1$ et $f\prime \left(1\right)=-2$ d'où :$$\begin{array}{ccc}y=-2\times \left(x-1\right)+1& \iff & y=-2x+3\end{array}$$

   La tangente T à la courbe $C_f$ au point d'abscisse 1 a pour équation $y=-2x+3$. La droite T coupe l'axe des ordonnées au point $B\left(0;3\right)$.

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4. On admet que la fonction G définie pour tout réel x strictement positif par $G\left(x\right)={\displaystyle \frac{{\left(\ln x\right)}^2}{2}}$ est une primitive sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ de la fonction g définie par $g\left(x\right)={\displaystyle \frac{\ln \left(x\right)}{x}}$.

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   En déduire une primitive F de la fonction f sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$.

   Pour tout réel x strictement positif, $$f\left(x\right)={\displaystyle \frac{1-\ln \left(x\right)}{x}}={\displaystyle \frac{1}{x}}-{\displaystyle \frac{\ln \left(x\right)}{x}}$$

   Par conséquent, une primitive de la fonction f est la fonction F définie sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ par $F\left(x\right)=\ln \left(x\right)-{\displaystyle \frac{{\left(\ln x\right)}^2}{2}}$

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5. Calculer l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe $C_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x={\mathrm{e}}^{-1}$ et $x=\mathrm{e}$.

   La fonction f est strictement décroissante sur l'intervalle $\left]0;\mathrm{e}\right]$ et $f\left(\mathrm{e}\right)=0$ donc sur l'intervalle $\left[{\mathrm{e}}^{-1};\mathrm{e}\right]$, la fonction f est positive. Il s'ensuit que l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe $C_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x={\mathrm{e}}^{-1}$ et $x=\mathrm{e}$ est égale à l'intégrale de la fonction f entre ${\mathrm{e}}^{-1}$ et e.

   $$\begin{array}{ccc}{\displaystyle {\int }_{{\mathrm{e}}^{-1}}^{\mathrm{e}}f\left(x\right)\mathrm{d}x}& =& F\left(\mathrm{e}\right)-F\left({\mathrm{e}}^{-1}\right)\hfill \\ & =& \left(\ln \left(\mathrm{e}\right)-{\displaystyle \frac{{\left(\ln \mathrm{e}\right)}^2}{2}}\right)-\left(\ln \left({\mathrm{e}}^{-1}\right)-{\displaystyle \frac{{\left(\ln {\mathrm{e}}^{-1}\right)}^2}{2}}\right)\hfill \\ & =& \left(1-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)-\left(-1-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)\hfill \\ & =& 2\hfill \end{array}$$

   L'aire du domaine compris entre la courbe $C_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x={\mathrm{e}}^{-1}$ et $x=\mathrm{e}$ est égale à 2 unités d'aire.

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