contrôles en terminale ES

contrôle du 28 mars 2015

Corrigé de l'exercice 3

On considère la fonction f définie pour tout réel x strictement positif par f(x)=1-ln(x)x et on note Cf sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormé.

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  1. Déterminer l'abscisse du point d'intersection de la courbe Cf avec l'axe des abscisses.

    L'abscisse du point A(x;0) intersection de la courbe Cf avec l'axe des abscisses est solution de l'équation f(x)=0.

    Pour tout réel x strictement positif : 1-ln(x)x=01-ln(x)=0ln(x)=1 x=e

    La courbe Cf coupe l'axe des abscisses au point A(e;0).


    1. La fonction f est dérivable sur l'intervalle ]0;+[, on note f sa fonction dérivée. Calculer f(x).

      La fonction f est dérivable comme quotient de deux fonctions dérivables sur ]0;+[. f=uv d'où f=uv-uvv2 avec pour tout réel x strictement positif, {u(x)=1-ln(x);u(x)=-1xv(x)=x;v(x)=1

      Soit pour tout réel x, f(x)=-1x×x-(1-ln(x))x2 =-2+ln(x)x2

      Ainsi, f est la fonction définie pour tout réel x strictement positif, par f(x)=ln(x)-2x2.


    2. Étudier les variations de la fonction f sur l'intervalle ]0;+[.

      Les variations de la fonction f sur l'intervalle ]0;+[ se déduisent du signe de sa dérivée.

      Or f est définie sur ]0;+[ par f(x)=ln(x)-2x2 donc f(x) est du même signe que ln(x)-2 : ln(x)-20ln(x)2 0<xe2

      Nous pouvons en déduire le tableau des variations de la fonction f sur l'intervalle ]0;+[ :

      x   0   e2 +
      f(x) 0|| +
      f( x ) fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      -e-2

      fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  2. Le point B(0;3) appartient-il à la droite T tangente à la courbe Cf au point d'abscisse 1 ?

    Une équation de la tangente T à la courbe Cf au point B d'abscisse 1 est :y=f(1)×(x-1)+f(1)

    Or f(1)=1 et f(1)=-2 d'où :y=-2×(x-1)+1y=-2x+3

    La tangente T à la courbe Cf au point d'abscisse 1 a pour équation y=-2x+3. La droite T coupe l'axe des ordonnées au point B(0;3).


  3. On admet que la fonction G définie pour tout réel x strictement positif par G(x)=(lnx)22 est une primitive sur l'intervalle ]0;+[ de la fonction g définie par g(x)=ln(x)x.


    En déduire une primitive F de la fonction f sur l'intervalle ]0;+[.

    Pour tout réel x strictement positif, f(x)=1-ln(x)x=1x-ln(x)x

    Par conséquent, une primitive de la fonction f est la fonction F définie sur l'intervalle ]0;+[ par F(x)=ln(x)-(lnx)22


  4. Calculer l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe Cf, l'axe des abscisses et les droites d'équation x=e-1 et x=e.

    La fonction f est strictement décroissante sur l'intervalle ]0;e] et f(e)=0 donc sur l'intervalle [e-1;e], la fonction f est positive. Il s'ensuit que l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe Cf, l'axe des abscisses et les droites d'équation x=e-1 et x=e est égale à l'intégrale de la fonction f entre e-1 et e.

    e-1ef(x)dx=F(e)-F(e-1)=(ln(e)-(lne)22)-(ln(e-1)-(lne-1)22)=(1-12)-(-1-12)=2

    L'aire du domaine compris entre la courbe Cf, l'axe des abscisses et les droites d'équation x=e-1 et x=e est égale à 2 unités d'aire.



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