On considère la fonction f définie pour tout réel x strictement positif par et on note sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormé.
Déterminer l'abscisse du point d'intersection de la courbe avec l'axe des abscisses.
L'abscisse du point intersection de la courbe avec l'axe des abscisses est solution de l'équation .
Pour tout réel x strictement positif :
La courbe coupe l'axe des abscisses au point .
La fonction f est dérivable sur l'intervalle , on note sa fonction dérivée. Calculer .
La fonction f est dérivable comme quotient de deux fonctions dérivables sur . d'où avec pour tout réel x strictement positif,
Soit pour tout réel x,
Ainsi, est la fonction définie pour tout réel x strictement positif, par .
Étudier les variations de la fonction f sur l'intervalle .
Les variations de la fonction f sur l'intervalle se déduisent du signe de sa dérivée.
Or est définie sur par donc est du même signe que :
Nous pouvons en déduire le tableau des variations de la fonction f sur l'intervalle :
x | 0 | ||||||
− | + | ||||||
Le point appartient-il à la droite T tangente à la courbe au point d'abscisse 1 ?
Une équation de la tangente T à la courbe au point B d'abscisse 1 est :
Or et d'où :
La tangente T à la courbe au point d'abscisse 1 a pour équation . La droite T coupe l'axe des ordonnées au point .
On admet que la fonction G définie pour tout réel x strictement positif par est une primitive sur l'intervalle de la fonction g définie par .
Pour tout réel x strictement positif,
Par conséquent, une primitive de la fonction f est la fonction F définie sur l'intervalle par
Calculer l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe , l'axe des abscisses et les droites d'équation et .
La fonction f est strictement décroissante sur l'intervalle et donc sur l'intervalle , la fonction f est positive. Il s'ensuit que l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe , l'axe des abscisses et les droites d'équation et est égale à l'intégrale de la fonction f entre et e.
L'aire du domaine compris entre la courbe , l'axe des abscisses et les droites d'équation et est égale à 2 unités d'aire.
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