Baccalauréat technologique 2013 MATHÉMATIQUES Série STI2D

sujet : France métropolitaine 2013

correction de l'exercice 1

Une fabrique de desserts dispose d'une chaîne automatisée pour remplir des pots de crème glacée.
La masse en grammes de crème glacée contenue dans chacun des pots peut être modélisée par une variable aléatoire X qui suit la loi normale d'espérance 100 et d'écart type 0,43.

  1. Afin de contrôler le remplissage des pots, le responsable qualité souhaite disposer de certaines probabilités.
    Le tableau ci-dessous présente le calcul, effectué à l'aide d'un tableur, des probabilités de quelques évènements pour une loi normale d'espérance 100 et d'écart type 0,43.

    a P(Xa) a P(Xa) a P(Xa)
    98 0,00000165 99,5 0,12245722 101 0,98997955
    98,5 0,00024299 100 0,50000000 101,5 0,99975701
    99 0,01002045 100,5 0,87754278 102 0,99999835

    Les résultats seront donnés à 10- 2 près.
    Pour les calculs de probabilités, on utilisera éventuellement le tableau précédent ou la calculatrice.

    1. Déterminer la probabilité de l'évènement « X>99 ».

      P(X>99)=1-P(X99)=1-0,01002045=0,98997955

      Arrondie à 10- 2 près, la probabilité de l'évènement « X>99 » est égale à 0,99.


    2. Déterminer la probabilité de l'évènement « 99X101 ».

      P(99X101)=P(X101)-P(X99)=0,98997955-0,01002045=0,97995910

      Arrondie à 10- 2 près, la probabilité de l'évènement « 99X101 » est égale à 0,98.


    3. Le pot est jugé conforme lorsque la masse de crème glacée est comprise entre 99 grammes et 101 grammes.
      Déterminer la probabilité pour qu'un pot prélevé aléatoirement soit non conforme.

      L'évènement « le pot prélevé est non conforme » est l'évènement contraire de l'évènement « le pot prélevé est conforme ». P(X[99;101])=1-P(99X101)=1-0,98=0,02

      La probabilité pour qu'un pot prélevé aléatoirement soit non conforme est égale à 0,02.


  2. Dans le cadre d'un fonctionnement correct de la chaîne de production, on admet que la proportion p de pots conformes dans la production est 98 %.

    1. L'intervalle de fluctuation asymptotique à 95 % de la fréquence des pots conformes sur un échantillon de taille n est I=[p-1,96p(1-p)n;p+1,96p(1-p)n] Déterminer les bornes de l'intervalle I pour un échantillon de taille 120.

      L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 0,95 est :I= [0,98-1,96×0,98×0,02120;0,98+1,96×0,98×0,02120]

      Soit en arrondissant à 10-3 près les bornes de l'intervalle, l'intervalle de fluctuation asymptotique à 95 % de la fréquence des pots conformes sur un échantillon de taille 120 est I=[0,955;1,005] soit I= [0,955;1]


    2. On contrôle régulièrement la chaîne de production en prélevant des échantillons de 120 pots de manière aléatoire. Au cours d'un de ces contrôles, un technicien compte 113 pots conformes.
      En utilisant l'intervalle de fluctuation précédent, prendra-t-on la décision d'effectuer des réglages sur la chaîne de production ?

      remarque

      n=120, np=117,6 et n(1-p)=2,4. Les conditions d'utilisation d'un intervalle de fluctuation asymptotique ne sont pas réunies !

      La fréquence observée f de pots conformes est f=1131200,942

      La fréquence observée n'appartient pas à l'intervalle de fluctuation asymptotique I= [0,955;1]. On rejette l'hypothèse que le réglage actuel est satisfaisant et, on prend la décision d'effectuer des réglages sur la chaîne de production.



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