sujet : France métropolitaine 2013

correction de l'exercice 2

partie a

1. Prévoir le sens de variation de la fonction f sur l'intervalle $\left[0;9\right]$.

   La température extérieure étant inférieure à celle de la pièce, la fonction f est décroissante.

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   On admet désormais que la fonction f est définie sur l'intervalle $\left[0;9\right]$ par $f\left(t\right)=9{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,12}t}+11$.

2. Donner une justification mathématique du sens de variation trouvé à la question précédente.

   La dérivée de la fonction f est la fonction définie pour tout réel t de l'intervalle $\left[0;9\right]$ par $$f\prime \left(t\right)=9\times \left(-\mathrm{0,12}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,12}t}\right)=-\mathrm{1,08}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,12}t}$$

   Or pour tout réel t, ${\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,12}t}>0$ donc pour tout réel t de l'intervalle $\left[0;9\right]$, $f\prime \left(t\right)<0$.

   $f\prime \left(t\right)<0$ donc la fonction f est strictement décroissante.

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3. Calculer $f\left(9\right)$. En donner la valeur arrondie au dixième puis interpréter ce résultat.

   $$f\left(9\right)=9\times {\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,12}\times 9}+11\approx \mathrm{14,1}$$

   À 7 heures du matin, la température de la pièce est d'environ 14,1 ° C.

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4. Déterminer, à l'aide de la calculatrice, l'heure à partir de laquelle la température est inférieure à 15 ° C.

   À l'aide de la calculatrice, on trouve que $f\left(t\right)<15$ pour $t>\mathrm{6,76}$.

   La température de la pièce est inférieure à 15 ° C à partir de 4 h 46 min du matin.

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5. Retrouver le résultat précédent en résolvant une inéquation.

   $$\begin{array}{ccc}9{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,12}t}+11<15& \iff & {\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,12}t}<{\displaystyle \frac{4}{9}}\hfill \\ & \iff & -\mathrm{0,12}t<\ln \left({\displaystyle \frac{4}{9}}\right)\hfill \\ & \iff & t>{\displaystyle \frac{\ln \left({\displaystyle \frac{4}{9}}\right)}{-\mathrm{0,12}}}\hfill \\ & \iff & t>{\displaystyle \frac{\ln \left({\displaystyle \frac{9}{4}}\right)}{\mathrm{0,12}}}\hfill \end{array}$$

   Ainsi, $f\left(t\right)<15\iff t>{\displaystyle \frac{\ln \mathrm{2,25}}{\mathrm{0,12}}}$. Soit pour $t⩾\mathrm{6,76}$.

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partie b

Le flux d'énergie dissipée vers l'extérieur, exprimé en kilowatts (kW), est donné par la fonction g telle que, pour tout nombre réel t de l'intervalle $\left[0;9\right]$, $$g\left(t\right)=\mathrm{0,7}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,12}t}$$ L'énergie ℰ ainsi dissipée entre 22 h et 7 h, exprimée en kilowattheures (kWh), s'obtient en calculant l'intégrale $$ℰ={\displaystyle {\int }_0^{9}g\left(t\right)\mathrm{d}t}$$

1. Calculer la valeur exacte de l'énergie dissipée.

   Une primitive de la fonction g est la fonction G définie sur l'intervalle $\left[0;9\right]$ par $$G\left(t\right)=\mathrm{0,7}\times {\displaystyle \frac{1}{-\mathrm{0,12}}}\times {\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,12}t}=-{\displaystyle \frac{35}{6}}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,12}t}$$

   D'où $$\begin{array}{ccc}{\displaystyle {\int }_0^{9}g\left(t\right)\mathrm{d}t}& =& G\left(9\right)-G\left(0\right)\hfill \\ & =& -{\displaystyle \frac{35}{6}}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{1,08}}+{\displaystyle \frac{35}{6}}\hfill \end{array}$$

   L'énergie ℰ dissipée entre 22 h et 7 h, exprimée en kilowattheures est $ℰ={\displaystyle \frac{35}{6}}\times \left(1-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{1,08}}\right)$

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2. En déduire une valeur arrondie de ℰ à 0,1 kWh près.

   $ℰ\approx \mathrm{3,9}$ (kWh).

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