sujet : France métropolitaine 2013

correction de l'exercice 4

partie a

On note $p_0=6400$. Pour tout nombre entier naturel non nul n, on note $p_n$ la puissance électrique restant dans la ligne Xiangjiaba-Shanghai au bout d'une distance de n centaines de kilomètres. Ainsi $p_1$ est la puissance électrique restant dans la ligne au bout de 100 km.

1. Montrer que $p_1=\mathrm{0,997}{p}_0$.

   On estime les pertes de puissance électrique d'un courant continu à très haute tension à 0,3 % pour une distance de 100 kilomètres d'où :$$p_1=\left(1-{\displaystyle \frac{\mathrm{0,3}}{100}}\right)\times p_0=\mathrm{0,997}{p}_0$$

   Ainsi, $p_1=\mathrm{0,997}{p}_0$

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2. Quelle est la puissance électrique au MW près par défaut restant dans la ligne Xiangjiaba-Shanghai au bout de 200 km ?

   $$p_2=\mathrm{0,997}\times p_1={\mathrm{0,997}}^2\times p_0={\mathrm{0,997}}^2\times 6400\approx 6361$$

   Au bout de 200 km, la puissance électrique restant dans la ligne Xiangjiaba-Shanghai est de 6361 MW (au MW près par défaut)

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3. Déterminer la nature de la suite $\left(p_n\right)$ puis exprimer $p_n$ en fonction de n.

   Pour tout entier n, $p_{n+1}=\mathrm{0,997}{p}_n$ d'où :

   $\left(p_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,997 et de premier terme $p_0=6400$. Donc pour tout entier naturel n, $p_n=6400\times {\mathrm{0,997}}^n$.

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partie b

1. On entre dans l'algorithme la valeur $n=3$.
   Faire fonctionner cet algorithme pour compléter les cases non grisées du tableau suivant, que l'on recopiera (on donnera des valeurs arrondies à l'unité près par défaut).

   	n	q	p
   Entrées et initialisation	3	0,997	6400
   1er passage dans la boucle de l'algorithme			$p_1\approx 6380$
   2e passage dans la boucle de l'algorithme			$p_2\approx 6361$
   3e passage dans la boucle de l'algorithme			$p_3\approx 6342$

2. Interpréter la valeur de p obtenue au troisième passage dans la boucle de l'algorithme.

   La valeur $p_3$ obtenue en sortie est la puissance électrique restant dans la ligne Xiangjiaba-Shanghai au bout de 300 km

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3. Quel est le pourcentage de perte de puissance électrique en ligne au bout de 300 km ?

   $$\begin{array}{ccc}{\mathrm{0,997}}^3-1\approx -\mathrm{0,009}& \text{ou}& {\displaystyle \frac{6342-6400}{6400}}\approx -\mathrm{0,009}\end{array}$$

   Au bout de 300 km, la perte de puissance électrique est d'environ 0,9 %.

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partie c

1. Quelle est la puissance électrique à l'arrivée de la ligne Xiangjiaba-Shanghai ?

   $$p_{19}=6400\times {\mathrm{0,997}}^{19}\approx 6044$$

   La puissance électrique à l'arrivée de la ligne Xiangjiaba-Shanghai est d'environ 6044 MW.

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2. D'autres lignes électriques à très haute tension, en courant continu, sont en cours d'étude. On souhaite limiter la perte de puissance électrique à 7 % sur ces lignes.

   1. La ligne Xiangjiaba-Shanghai répond-t-elle à cette contrainte ?

      $${\mathrm{0,997}}^{19}-1\approx -\mathrm{0,055}$$

      La perte de puissance électrique sur la ligne est d'environ 5,5 % donc la ligne Xiangjiaba-Shanghai répond à cette contrainte.

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   2. Déterminer, à cent kilomètres près, la longueur maximale d'une ligne à très haute tension en courant continu pour laquelle la perte de puissance reste inférieure à 7 %.

      On cherche à déterminer le plus grand entier n tel que : $$\begin{array}{ccc}{\mathrm{0,997}}^n⩾1-\mathrm{0,07}& \iff & {\mathrm{0,997}}^n⩾\mathrm{0,93}\hfill \\ & \iff & \ln \left({\mathrm{0,997}}^n\right)⩾\ln \mathrm{0,93}\hfill & \text{La fonction }\ln \text{ est strictement croissante}\\ & \iff & n\ln \mathrm{0,997}⩾\ln \mathrm{0,93}\hfill & \\ & \iff & n⩽{\displaystyle \frac{\ln \mathrm{0,93}}{\ln \mathrm{0,997}}}\hfill & \ln \mathrm{0,997}<0\end{array}$$

      Comme ${\displaystyle \frac{\ln \mathrm{0,93}}{\ln \mathrm{0,997}}}\approx \mathrm{24,2}$, le plus grand entier n tel que $n⩽{\displaystyle \frac{\ln \mathrm{0,93}}{\ln \mathrm{0,997}}}$ est 24.

      La longueur maximale d'une ligne à très haute tension en courant continu pour laquelle la perte de puissance reste inférieure à 7 % est de 2400 km.

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