sujet : Polynésie 2013

correction de l'exercice 1

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).
Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.
Il sera attribué un point si la réponse est exacte. Aucun point ne sera enlevé en cas de réponse incorrecte ou d'absence de réponse.

On considère le nombre complexe $z=2{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\frac{\pi }{4}}$ où i est le nombre complexe de module 1 et d'argument ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$.

1. Le carré de z est égal à :

   $$\begin{array}{ccc}{z}^2& =& \left(2{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\frac{\pi }{4}}\right)\times \left(2{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\frac{\pi }{4}}\right)\hfill \\ & =& 4{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\left(-\frac{\pi }{4}-\frac{\pi }{4}\right)}\hfill \\ & =& 4{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\frac{\pi }{2}}\hfill \\ & =& -4\mathrm{i}\hfill \end{array}$$

   a.   $-4\mathrm{i}$

   b.   $-4$

   c.   $-2\mathrm{i}$

   d.   4

2. L'inverse de z est égal à :

   $$\begin{array}{ccc}{\displaystyle \frac{1}{z}}& =& {\displaystyle \frac{1}{2{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\frac{\pi }{4}}}}\hfill \\ & =& {\displaystyle \frac{1}{2}}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{\pi }{4}}\hfill \end{array}$$

   a.   ${\displaystyle \frac{1}{2}}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\frac{\pi }{4}}$

   b.   $-2{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\frac{\pi }{4}}$

   c.   $2{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{\pi }{4}}$

   d.   ${\displaystyle \frac{1}{2}}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{\pi }{4}}$

3. L'équation différentielle $y\prime \prime +4y=0$ admet pour solution la fonction f définie, pour tout réel x, par :

   Les solutions de l'équation différentielle $y\prime \prime +4y=0$ sont les fonctions définies sur $ℝ$ par $x\mapsto k_1\cos \left(2x\right)+k_2\sin \left(2x\right)$ où $k_1$ et $k_2$ sont deux réels quelconques.

   Ces solutions peuvent s'écrire sous la forme $x\mapsto A\sin \left(2x+\phi \right)$. Soit en prenant $A=5$ et $\phi ={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$, la fonction f définie, pour tout réel x, par $f\left(x\right)=5\sin \left(2x+{\displaystyle \frac{\pi }{3}}\right)$ est une solution de l'équation différentielle $y\prime \prime +4y=0$. Vérifions le :

   $f\prime \left(x\right)=10\cos \left(2x+{\displaystyle \frac{\pi }{3}}\right)$ d'où $f\prime \prime \left(x\right)=-20\sin \left(2x+{\displaystyle \frac{\pi }{3}}\right)=-4\times 5\sin \left(2x+{\displaystyle \frac{\pi }{3}}\right)$. Soit $$\begin{array}{ccc}f\prime \prime \left(x\right)=-4f\left(x\right)& \iff & f\prime \prime \left(x\right)+4f\left(x\right)=0\end{array}$$

   a.   $f\left(x\right)=2\sin \left(x+{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)$

   b.   $f\left(x\right)=5\sin \left(2x+{\displaystyle \frac{\pi }{3}}\right)$

   c.   $f\left(x\right)=4\sin \left(x+{\displaystyle \frac{\pi }{4}}\right)$

   d.   $f\left(x\right)=\sin \left(4x+{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)$

4. On observe la durée de fonctionnement, exprimée en années, d'un appareil électroménager jusqu'à ce que survienne la première panne.
   Cette durée de fonctionnement est modélisée par une variable aléatoire X, suivant la loi exponentielle de paramètre $\lambda =\mathrm{0,2}$.
   La probabilité que le moteur fonctionne sans panne pendant plus de 8 ans est au centième près :

   La fonction de densité de la loi exponentielle de paramètre $\lambda =\mathrm{0,2}$ est la fonction f définie sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$ par $f\left(t\right)=\mathrm{0,2}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,2}t}$

   L'évènement « le moteur fonctionne sans panne pendant plus de 8 ans » est l'évènement contraire de l'évènement « le moteur fonctionne sans panne moins de 8 ans ». Soit $$\begin{array}{ccc}P\left(X>8\right)& =& 1-P\left(X⩽8\right)\hfill \\ & =& 1-{\displaystyle {\int }_0^8\mathrm{0,2}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,2}t}\mathrm{d}t}\hfill \\ & =& 1-{\displaystyle {[-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,2}t}]}_0^8}\hfill \\ & =& 1-\left(-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{1,6}}-\left(-{\mathrm{e}}^0\right)\right)\hfill \\ & =& {\mathrm{e}}^{-\mathrm{1,6}}\hfill \end{array}$$

   Ainsi, la probabilité que le moteur fonctionne sans panne pendant plus de 8 ans est au centième près 0,20.

   a.   0,18

   b.   0,20

   c.   0,71

   d.   0,80

---

Rechercher des exercices regoupés par thème

conformes au programme 2012 : ------- Liste des thèmes disponibles -------SuitesQCMVrai-FauxFonctions logarithmesFonctions exponentiellesÉquations différentiellesNombres complexesProbabilités

---

[ Accueil ]

---

Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.