sujet : Polynésie 2013

correction de l'exercice 2

On considère la suite numérique $\left(u_n\right)$ définie par $u_0=8$ et, pour tout entier naturel n, $u_{n+1}=\mathrm{0,4}{u}_n+3$.

1. Calculer $u_1$ et $u_2$.

   $$\begin{array}{ccccccc}{u}_1& =& \mathrm{0,4}\times u_0+3\hfill & \text{et}& u_2& =& \mathrm{0,4}\times u_1+3\hfill \\ & =& \mathrm{0,4}\times 8+3\hfill & & & =& \mathrm{0,4}\times \mathrm{6,2}+3\hfill \\ & =& \mathrm{6,2}\hfill & & & =& \mathrm{5,48}\hfill \end{array}$$

   Ainsi, $u_1=\mathrm{6,2}$ et $u_2=\mathrm{5,48}$

   ---

   On utilise un tableur pour calculer les premiers termes de cette suite.
   Une copie d'écran sur laquelle les termes $u_1$ et $u_2$ ont été effacés est donnée en annexe ci-dessous.

   	A	B
   1	n	$u_n$
   2	0	8
   3	1
   4	2
   5	3	5,192
   6	4	5,07681
   7	5	5,03072
   8	6	5,012288
   9	7	5,0049152
   10	8	5,00196608
   11	9	5,00078643
   12	10	5,00031457
   13	11	5,00012583
   14	12	5,00005033
   15	13	5,00002013
   16	14	5,00000305
   17	15	5,00000322
   18	16	5,00000129
   19	17	5,00000052
   20	18	5,00000021

2. Quelle formule a-t-on pu saisir dans la cellule B3 de la feuille de calcul afin d'obtenir les premiers termes de cette suite par recopie vers le bas ?

   La formule saisie dans dans la cellule B3 est : « =B2*0.4+3 »

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3. En utilisant cette copie d'écran, que peut-on conjecturer sur la limite de la suite $\left(u_n\right)$ ?

   La suite $\left(u_n\right)$ semble converger vers 5.

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4. On considère l'algorithme suivant :

   Les variables sont l'entier naturel N et le réel U.
   Initialisation :	Affecter à N la valeur 0 Affecter à U la valeur 8
   Traitement :	TANT QUE $U-5>\mathrm{0,01}$ Affecter à N la valeur N + 1 Affecter à U la valeur $\mathrm{0,4}U+3$ Fin TANT QUE
   Sortie :	Afficher N

   Par rapport à la suite $\left(u_n\right)$, quelle est la signification de l'entier N affiché ?

   L'entier N affiché correspond au plus petit indice n tel que $u_n-5⩽\mathrm{0,01}$

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5. On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel n, par $v_n=u_n-5$. On admet que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de premier terme $v_0=3$ et de raison 0,4.

   1. Exprimer $v_n$ en fonction de n.

      $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de premier terme $v_0=3$ et de raison 0,4 alors, pour tout entier n, $v_n=3\times {\mathrm{0,4}}^n$

      ---

   2. Déterminer la limite de la suite $\left(v_n\right)$.

      Comme $0<\mathrm{0,4}<1$, $\underset{n\to +\infty }{\lim }{\mathrm{0,4}}^n=0$ d'où, $\underset{n\to +\infty }{\lim }3\times {\mathrm{0,4}}^n=0$.

      La suite $\left(v_n\right)$ converge vers 0.

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   3. Le résultat précédent permet-il de valider la conjecture faite à la question 3 ? Pourquoi ?

      Pour tout entier n, $$\begin{array}{ccc}{v}_n=u_n-5& \iff & u_n=v_n+5\end{array}$$

      D'où $$\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=\underset{n\to +\infty }{\lim }{v}_n+5=5$$

      Ainsi, la suite $\left(u_n\right)$ converge vers 5.

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