sujet : Polynésie 2013

correction de l'exercice 4

Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante. Les résultats seront arrondis, si nécessaire, à 10^{- 3} près.

Une entreprise produit en grande quantité des pièces détachées destinées à l'industrie.
L'objectif de cet exercice est d'étudier l'exploitation de divers outils mathématiques pour analyser la qualité de cette production.

A. Loi normale

Une pièce est conforme lorsque sa longueur, exprimée en millimètres, appartient à l'intervalle $\left[\mathrm{74,4};\mathrm{75,6}\right]$.
On note L la variable aléatoire qui, à chaque pièce prélevée au hasard dans la production, associe sa longueur. On suppose que la variable aléatoire L suit la loi normale d'espérance 75 et d'écart type 0,25.

1. Calculer $P\left(\mathrm{74,4}⩽L⩽\mathrm{75,6}\right)$

   Avec la calculatrice, on obtient : $$P\left(\mathrm{74,4}⩽L⩽\mathrm{75,6}\right)\approx \mathrm{0,984}$$

   La probabilité qu'une pièce soit conforme est égale 0,984.

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2. Quelle valeur doit-on donner à h pour avoir $P\left(75-h⩽L⩽75+h\right)=\mathrm{0,95}$ ?

   Si une variable aléatoire X suit la loi normale d'espérance μ et d'écart type σ alors, selon les valeurs données en cours :$$\begin{array}{ccc}P\left(X\in \left[\mu -2\sigma ;\mu +2\sigma \right]\right)\approx \mathrm{0,95}& \text{ou avec une meilleure précision}& P\left(X\in \left[\mu -\mathrm{1,96}\sigma ;\mu +\mathrm{1,96}\sigma \right]\right)\approx \mathrm{0,95}\end{array}$$

   Comme la variable aléatoire L suit la loi normale d'espérance 75 et d'écart type 0,25, $P\left(75-h⩽L⩽75+h\right)=\mathrm{0,95}$ avec $h=2\times \mathrm{0,25}=\mathrm{0,5}$ ( ou avec une meilleure précision, $h=\mathrm{1,96}\times \mathrm{0,25}=\mathrm{0,49}$)

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B. Loi binomiale

Les pièces produites par l'entreprise sont livrées par lots de 20.
On note D l'événement : « une pièce prélevée au hasard dans la production n'est pas conforme ».
On suppose que $P\left(D\right)=\mathrm{0,02}$.
On prélève au hasard 20 pièces dans la production. La production est assez importante pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage aléatoire avec remise.
On considère la variable aléatoire X qui, à un lot de 20 pièces, associe le nombre de pièces non conformes qu'il contient.

1. Justifier que la variable aléatoire X suit la loi binomiale de paramètres 20 et 0,02.

   Le prélèvement de 20 pièces est assimilé à un tirage aléatoire avec remise donc la variable aléatoire X qui associe le nombre de pièces non conformes suit la loi binomiale de paramètres 20 et 0,02.

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2. Calculer la probabilité $P\left(X=0\right)$.

   $$P\left(X=0\right)={\left(1-\mathrm{0,02}\right)}^{20}\approx \mathrm{0,668}$$

   La probabilité que les 20 pièces soient conformes est égale à 0,668.

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3. Calculer la probabilité qu'il y ait au moins une pièce non conforme dans ce lot de 20 pièces.

   L'événement : « au moins une pièce n'est pas conforme dans un lot de 20 pièces » est l'événement contraire de l'évènement « les 20 pièces du lot sont conformes ». D'où $$\begin{array}{ccc}P\left(X⩾1\right)& =& 1-P\left(X=0\right)\hfill \\ & =& 1-\mathrm{0,668}\hfill \\ & =& \mathrm{0,332}\hfill \end{array}$$

   La probabilité qu'il y ait au moins une pièce non conforme dans ce lot de 20 pièces est ègale à 0,332.

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4. Calculer l'espérance mathématique, $E\left(X\right)$, de cette variable aléatoire et interpréter le résultat.

   La variable aléatoire X suit la loi binomiale de paramètres 20 et 0,02 d'où son espérance mathématique est $$E\left(X\right)=20\times \mathrm{0,02}=\mathrm{0,4}$$

   L'espérance mathématique la variable aléatoire est égale à 0,4. Cela signifie, que sur un grand nombre de lots de 20 pièces on trouvera en moyenne 0,4 pièce non conforme par lot.

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C. Intervalle de fluctuation

Le cahier des charges établit que la proportion de 2 % de pièces non conformes dans la production est acceptable.

1. Donner l'intervalle de fluctuation asymptotique à 95 % de la fréquence des pièces non conformes dans un échantillon de taille 80.

   $n=80$, $np=80\times \mathrm{0,02}=\mathrm{1,6}$. Les conditions d'approximation de la loi binomiale par la loi normale ne sont pas réunies. L'intervalle $\left[p-\mathrm{1,96}\times \sqrt{{\displaystyle \frac{p\times \left(1-p\right)}{n}}};p+\mathrm{1,96}\times \sqrt{{\displaystyle \frac{p\times \left(1-p\right)}{n}}}\right]$ n'est pas un intervalle de fluctuation asymptotique à 95 % de la fréquence des pièces non conformes dans un échantillon de taille 80.

   Dans le cadre de l'épreuve du baccalauréat, répondre que l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 0,95 est :$$I=\left[\mathrm{0,02}-\mathrm{1,96}\times \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,02}\times \mathrm{0,98}}{80}}};\mathrm{0,02}+\mathrm{1,96}\times \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,02}\times \mathrm{0,98}}{80}}}\right]$$ est accepté.

   Soit en arrondissant à ${10}^{-3}$ près les bornes de l'intervalle, l'intervalle de fluctuation asymptotique à 95 % de la fréquence des pièces non conformes dans un échantillon de taille 80 est $I=\left[0;\mathrm{0,051}\right]$

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   On veut savoir si la machine de production est correctement réglée. Pour cela on prélève au hasard dans la production un échantillon de taille 80 dans lequel 3 pièces se révèlent être non conformes.

2. Quelle est la fréquence des pièces non conformes dans l'échantillon prélevé ?

   La fréquence f des pièces non conformes dans l'échantillon prélevé est :$$f={\displaystyle \frac{3}{80}}=\mathrm{0,0375}$$

3. La machine de production doit-elle être révisée ? Justifier votre réponse.

   • méthode 1

     On utilise l'intervalle de fluctuation asymptotique à 95 % de la question précédente.

     $\mathrm{0,0375}\in \left[0;\mathrm{0,051}\right]$ on accepte l'hypothèse du cahier des charges selon laquelle la proportion de 2 % de pièces non conformes dans la production est acceptable. La machine ne doit pas être révisée

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   • méthode 2

     Les conditions d'utilisation d'un intervalle de fluctuation asymptotique à 95 % ne sont pas réunies.

     L'intervalle de fluctuation à environ 95 % d'une fréquence correspondant à la réalisation sur un échantillon aléatoire de taille n d'une variable aléatoire X de loi binomiale est l'intervalle $\left[{\displaystyle \frac{a}{n}};{\displaystyle \frac{b}{n}}\right]$ défini par :

     • a est le plus petit entier tel que $P\left(X⩽a\right)>\mathrm{0,025}$ ;
     • b est le plus petit entier tel que $P\left(X⩽b\right)>\mathrm{0,975}$.

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     L'intervalle de fluctuation à environ 95 % de la fréquence des pièces non conformes dans un échantillon de taille 80 est $\left[0;{\displaystyle \frac{4}{80}}\right]$ soit $\left[0;\mathrm{0,05}\right]$.

     $\mathrm{0,0375}\in \left[0;\mathrm{0,05}\right]$ on accepte l'hypothèse du cahier des charges selon laquelle la proportion de 2 % de pièces non conformes dans la production est acceptable. La machine ne doit pas être révisée

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