sujet : Polynésie 2013

correction de l'exercice 3

La grand-mère de Théo sort un gratin du four, le plat étant alors à 100° C. Elle conseille à son petit-fils de ne pas le toucher afin de ne pas se brûler, et de laisser le plat se refroidir dans la cuisine dont la température ambiante est supposée constante à 20° C.
Théo lui rétorque que quand il sera à 37° C il pourra le toucher sans risque ; et sa grand-mère lui répond qu'il lui faudra attendre 30 minutes pour cela.
La température du plat est donnée par une fonction g du temps t, exprimé en minutes, qui est solution de l'équation différentielle (E)$y\prime +\mathrm{0,04}y=\mathrm{0,8}$.

1. Résoudre l'équation différentielle (E) et donner sa solution particulière g définie par la condition initiale $g\left(0\right)=100$.

   L'équation différentielle $y\prime +\mathrm{0,04}y=\mathrm{0,8}$ est de la forme $y\prime +ay=b$ avec $a=\mathrm{0,04}$ et $b=\mathrm{0,8}$.

   Les solutions de cette équation différentielle sont les fonctions définies sur $ℝ$ par $t\mapsto k{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,04}t}+{\displaystyle \frac{\mathrm{0,8}}{\mathrm{0,04}}}$ où k est un réel quelconque.

   $g\left(0\right)=100$ équivaut à $$\begin{array}{ccc}k{\mathrm{e}}^0+{\displaystyle \frac{\mathrm{0,8}}{\mathrm{0,04}}}=100& \iff & k+20=100\hfill \\ & \iff & k=80\hfill \end{array}$$

   g est la fonction définie, pour tout réel t positif, par $g\left(t\right)=80{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,04}t}+20$

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2. En utilisant l'expression de $g\left(t\right)$ trouvée :

   1. La grand-mère de Théo a-t-elle bien évalué le temps nécessaire pour atteindre 37° C ?

      $$\begin{array}{ccc}g\left(30\right)& =& 80\times {\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,04}\times 30}+20\hfill \\ & \approx & \mathrm{44,1}\hfill \end{array}$$

      La grand-mère de Théo n'a pas bien évalué le temps nécessaire pour atteindre 37° C.

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   2. Quelle est la valeur exacte du temps nécessaire pour obtenir cette température ?
      En donner une valeur arrondie à la seconde près.

      $$\begin{array}{ccc}g\left(t\right)=37& \iff & 80{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,04}t}+20=37\hfill \\ & \iff & {\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,04}t}={\displaystyle \frac{17}{80}}\hfill \\ & \iff & \ln \left({\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,04}t}\right)=\ln {\displaystyle \frac{17}{80}}\hfill \\ & \iff & -\mathrm{0,04}t=\ln \mathrm{0,2125}\hfill \\ & \iff & t=-{\displaystyle \frac{\ln \mathrm{0,2125}}{\mathrm{0,04}}}\hfill \end{array}$$

      La valeur exacte du temps nécessaire pour obtenir cette température est $t=-{\displaystyle \frac{\ln \mathrm{0,2125}}{\mathrm{0,04}}}$, soit environ 38,72 minutes. Ce qui donne arrondi à la seconde près, un temps de 38 minutes et 43 secondes.

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