sujet : Antilles Guyane 2014

correction de l'exercice 2

Dans cet exercice, on s'intéresse à deux types A et B de téléviseurs à écran plat.
Les réponses aux questions 1. a., 1. b. et 1. c. seront arrondies au centième.

1. La durée de fonctionnement, exprimée en heures, d'un téléviseur du type A, avant que survienne la première panne, est modélisée par une variable aléatoire X suivant la loi exponentielle de paramètre $\lambda =2\times {10}^{-5}$.

   1. Calculer la probabilité que la première panne survienne avant la 32000^e heure de fonctionnement.

      X suivant la loi exponentielle de paramètre $\lambda =2\times {10}^{-5}$ alors, $$\begin{array}{ccc}P\left(X⩽\mathrm{32\; 000}\right)& =& {\displaystyle {\int }_0^{32000}2\times {10}^{-5}\times {\mathrm{e}}^{-2\times {10}^{-5}t}\mathrm{d}t}\hfill \\ & =& {\left[-{\mathrm{e}}^{-2\times {10}^{-5}t}\right]}_0^{32000}\hfill \\ & =& 1-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,64}}\hfill \\ & \approx & \mathrm{0,47}\hfill \end{array}$$

      La probabilité que la première panne survienne avant la 32000^e heure de fonctionnement est, arrondie au centième près, égale à 0,47.

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   2. On s'intéresse à un téléviseur de type A fonctionnant chaque jour pendant 4 heures.
      Calculer la probabilité que la première panne d'écran ne survienne pas avant 10 ans. (On prendra 1 année = 365 jours.)

      $10\times 4\times 365=14600$ et $$\begin{array}{ccc}P\left(X⩾14600\right)& =& 1-{\displaystyle {\int }_0^{14600}2\times {10}^{-5}\times {\mathrm{e}}^{-2\times {10}^{-5}t}\mathrm{d}t}\hfill \\ & =& 1-{\left[-{\mathrm{e}}^{-2\times {10}^{-5}t}\right]}_0^{14600}\hfill \\ & =& {\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,292}}\hfill \\ & \approx & \mathrm{0,75}\hfill \end{array}$$

      La probabilité que la première panne d'écran ne survienne pas avant 10 ans est, arrondie au centième près, égale à 0,75.

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   3. Calculer la probabilité que la première panne survienne après 10000 heures et avant 40000 heures de fonctionnement.

      $$\begin{array}{ccc}P\left(10000⩽X⩽40000\right)& =& {\displaystyle {\int }_{10000}^{40000}2\times {10}^{-5}\times {\mathrm{e}}^{-2\times {10}^{-5}t}\mathrm{d}t}\hfill \\ & =& {\left[-{\mathrm{e}}^{-2\times {10}^{-5}t}\right]}_{10000}^{40000}\hfill \\ & =& {\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,2}}-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,8}}\hfill \\ & \approx & \mathrm{0,37}\hfill \end{array}$$

      La probabilité que la première panne survienne après 10000 heures et avant 40000 heures de fonctionnement est, arrondie au centième près, égale à 0,37.

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   4. Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire X et en donner une interprétation.

      L'espérance mathématique de la variable aléatoire X est $E\left(X\right)={\displaystyle \frac{1}{2\times {10}^{-5}}}=50000$. La durée de fonctionnement moyenne d'un téléviseur du type A est de 50000 heures.

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2. La durée de fonctionnement avant la première panne d'un téléviseur de type B est modélisée par une variable aléatoire Y suivant la loi exponentielle de paramètre λ'.
   Une étude statistique a permis d'évaluer $P\left(Y⩽\mathrm{32\; 000}\right)=\mathrm{0,8}$. Calculer la valeur arrondie à ${10}^{-5}$ de λ'.

   Y suivant la loi exponentielle de paramètre λ' tel que $P\left(Y⩽\mathrm{32\; 000}\right)=\mathrm{0,8}$ d'où :$$\begin{array}{ccc}{\displaystyle {\int }_0^{32000}\lambda \prime \times {\mathrm{e}}^{-\lambda \prime t}\mathrm{d}t}=\mathrm{0,8}& \iff & {\left[-{\mathrm{e}}^{-\lambda \prime t}\right]}_0^{32000}=\mathrm{0,8}\hfill \\ & \iff & 1-{\mathrm{e}}^{-32000\times \lambda \prime }=\mathrm{0,8}\hfill \\ & \iff & {\mathrm{e}}^{-32000\times \lambda \prime }=\mathrm{0,2}\hfill \\ & \iff & -32000\times \lambda \prime =\ln \mathrm{0,2}\hfill \\ & \iff & \lambda \prime ={\displaystyle \frac{\ln 5}{32000}}\hfill \end{array}$$

   La valeur arrondie à ${10}^{-5}$ de λ' est $\lambda \prime \approx 5\times {10}^{-5}$

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