sujet : Antilles Guyane 2014

correction de l'exercice 3

partie a

1. Donner les écritures algébriques de z, de $\overline{z}$ et de ${\displaystyle \frac{1}{2}}\overline{z}$.

   z est le nombre complexe de module 2 et d'argument ${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$ d'où :$$z=2\times \left(\cos {\displaystyle \frac{\pi }{3}}+\mathrm{i}\sin {\displaystyle \frac{\pi }{3}}\right)=2\times \left({\displaystyle \frac{1}{2}}+\mathrm{i}{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\right)=1+\mathrm{i}\sqrt{3}$$

   $z=1+\mathrm{i}\sqrt{3}$, $\overline{z}=1-\mathrm{i}\sqrt{3}$ et ${\displaystyle \frac{1}{2}}\overline{z}={\displaystyle \frac{1}{2}}-\mathrm{i}{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$.

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2. On considère le nombre complexe $p={\displaystyle \frac{2+\overline{z}}{2-\overline{z}}}$.

   1. Montrer que $p=-\mathrm{i}\sqrt{3}$.

      $$\begin{array}{ccc}{\displaystyle \frac{2+\overline{z}}{2-\overline{z}}}& =& {\displaystyle \frac{2+1-\mathrm{i}\sqrt{3}}{2-1+\mathrm{i}\sqrt{3}}}\hfill \\ & =& {\displaystyle \frac{3-\mathrm{i}\sqrt{3}}{1+\mathrm{i}\sqrt{3}}}\hfill \\ & =& {\displaystyle \frac{\left(3-\mathrm{i}\sqrt{3}\right)\left(1-\mathrm{i}\sqrt{3}\right)}{\left(1+\mathrm{i}\sqrt{3}\right)\left(1-\mathrm{i}\sqrt{3}\right)}}\hfill \\ & =& {\displaystyle \frac{3-3\mathrm{i}\sqrt{3}-\mathrm{i}\sqrt{3}+3{\mathrm{i}}^2}{1+3}}\hfill \\ & =& {\displaystyle \frac{3-4\mathrm{i}\sqrt{3}-3}{4}}\hfill \\ & =& -\mathrm{i}\sqrt{3}\hfill \end{array}$$

      Ainsi, $p=-\mathrm{i}\sqrt{3}$.

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   2. Les points M, N et P sont les points d'affixes respectives 1, ${\displaystyle \frac{1}{2}}\overline{z}$ et p. Placer ces trois points dans le repère. Justifier l'alignement de ces trois points.

      L'affixe du vecteur $\overrightarrow{MN}$ est $z_{\overrightarrow{MN}}={\displaystyle \frac{1}{2}}-\mathrm{i}{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}-1=-{\displaystyle \frac{1}{2}}-\mathrm{i}{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$

      L'affixe du vecteur $\overrightarrow{MP}$ est $z_{\overrightarrow{MP}}=-\mathrm{i}\sqrt{3}-1=2z_{\overrightarrow{MN}}$

      De $z_{\overrightarrow{MP}}=2z_{\overrightarrow{MN}}$ on déduit que les vecteurs $\overrightarrow{MN}$ et $\overrightarrow{MP}$ sont colinéaires donc les points M, N et P sont alignés.

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partie b

Soit u le nombre complexe défini par $u={\displaystyle \frac{1}{2}}z$.

1. Écrire u sous la forme exponentielle.

   $u={\displaystyle \frac{1}{2}}z$ donc u est le nombre complexe de module 1 et d'argument ${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$ d'où :$u={\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{\pi }{3}}$

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2. 1. Donner l'écriture exponentielle puis l'écriture algébrique de $u^3$.

      $u^3={\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\pi }=-1$.

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   2. Vérifier les relations suivantes : $u^4=-u$ et $u^5=-u^2$.

      $u^4=u^3\times u=-u$ et $u^5=u^4\times u=-u\times u=-u^2$.

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   3. Vérifier que $1+u+u^2+u^3+u^4+u^5+u^6=1$.

      $u^6={\left(u^3\right)}^2=1$ d'où :$$1+u+u^2+u^3+u^4+u^5+u^6=1+u+u^2-1-u-u^2+1=1$$

      Ainsi, $1+u+u^2+u^3+u^4+u^5+u^6=1$.

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