sujet : Antilles Guyane 2014

correction de l'exercice 1

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée.
Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent aucun point.
Indiquer sur la copie la réponse correspondante choisie.

1. Soit x un réel quelconque, ${\mathrm{e}}^{-4x}$ est égal à :

   Pour tout réel x, ${\mathrm{e}}^{-x}={\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{e}}^x}}$

   a.   ${\mathrm{e}}^x\times {\mathrm{e}}^{-4}$

   b.   $-{\mathrm{e}}^{4x}$

   c.   $x\times {\mathrm{e}}^{-4}$

   d.   ${\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{e}}^{4x}}}$

2. L'intégrale ${\displaystyle {\int }_{\ln 2}^{\ln 3}{\mathrm{e}}^{2x}\mathrm{d}x}$ est égale à :

   $$\begin{array}{ccc}{\displaystyle {\int }_{\ln 2}^{\ln 3}{\mathrm{e}}^{2x}\mathrm{d}x}& =& {\left[{\displaystyle \frac{1}{2}}\times {\mathrm{e}}^{2x}\right]}_{\ln 2}^{\ln 3}\hfill \\ & =& {\displaystyle \frac{1}{2}}\times \left[{\mathrm{e}}^{2\times \ln 3}-{\mathrm{e}}^{2\times \ln 2}\right]\hfill \\ & =& {\displaystyle \frac{1}{2}}\times \left[{\mathrm{e}}^{\ln 9}-{\mathrm{e}}^{\ln 4}\right]\hfill \\ & =& {\displaystyle \frac{5}{2}}\hfill \end{array}$$

   a.   5

   b.   10

   c.   2,5

   d.   1

3. $\left(u_n\right)$ est la suite géométrique de premier terme $u_0=5$ et de raison 0,98. $\left(v_n\right)$ est la suite géométrique de premier terme $v_0=\mathrm{2,8}$ et de raison 1,02.
   Le plus petit entier n vérifiant $u_n⩽v_n$ est :

   $\left(u_n\right)$ est la suite géométrique de premier terme $u_0=5$ et de raison 0,98 donc pour tout entier n, $u_n=5\times {\mathrm{0,98}}^n$.
   $\left(v_n\right)$ est la suite géométrique de premier terme $v_0=\mathrm{2,8}$ et de raison 1,02 donc pour tout entier n, $v_n=\mathrm{2,8}\times {\mathrm{1,02}}^n$.

   Le plus petit entier n vérifiant $u_n⩽v_n$ est solution de l'inéquation : $$\begin{array}{ccc}5\times {\mathrm{0,98}}^n⩽\mathrm{2,8}\times {\mathrm{1,02}}^n& \iff & {\displaystyle \frac{{\mathrm{0,98}}^n}{{\mathrm{1,02}}^n}}⩽{\displaystyle \frac{\mathrm{2,8}}{5}}\hfill \\ & \iff & {\left({\displaystyle \frac{\mathrm{0,98}}{\mathrm{1,02}}}\right)}^n⩽\mathrm{0,56}\hfill \\ & \iff & \ln {\left({\displaystyle \frac{\mathrm{0,98}}{\mathrm{1,02}}}\right)}^n⩽\ln \mathrm{0,56}\hfill \\ & \iff & n\times \ln \left({\displaystyle \frac{\mathrm{0,98}}{\mathrm{1,02}}}\right)⩽\ln \mathrm{0,56}\hfill \\ & \iff & n⩾{\displaystyle \frac{\ln \mathrm{0,56}}{\ln \left({\displaystyle \frac{\mathrm{0,98}}{\mathrm{1,02}}}\right)}}\hfill \end{array}$$

   Comme ${\displaystyle \frac{\ln \mathrm{0,56}}{\ln \left({\displaystyle \frac{\mathrm{0,98}}{\mathrm{1,02}}}\right)}}\approx \mathrm{14,5}$, le plus petit entier n vérifiant $u_n⩽v_n$ est 15.

   a.   14

   b.   15

   c.   16

   d.   17

4. $\left(u_n\right)$ est la suite géométrique de premier terme $u_0=1$ et de raison ${\displaystyle \frac{5}{3}}$. On donne l'algorithme suivant :

   variables :	n, u
   initialisation :	u prend la valeur 1 n prend la valeur 0
   traitement :	Tant que $u<1000$ n prend la valeur $n+1$ u prend la valeur $u\times {\displaystyle \frac{5}{3}}$ Fin du Tant que
   Sortie :	Afficher n

   Cet algorithme affiche en sortie :

   1. La valeur de $u_{1001}$

   2. la plus grande valeur de n vérifiant $u_n<1000$

   3. la plus petite valeur de n vérifiant $u_n⩾1000$

   4. la plus petite valeur de $u_n$ vérifiant $u_n⩾1000$

5. Soit f la fonction définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)=2\cos \left({\displaystyle \frac{4}{3}}x-{\displaystyle \frac{\pi }{6}}\right)$. La fonction f est une solution de l'équation différentielle :

   Pour tout réel x, $f\prime \left(x\right)=2\times \left(-{\displaystyle \frac{4}{3}}\sin \left({\displaystyle \frac{4}{3}}x-{\displaystyle \frac{\pi }{6}}\right)\right)=-{\displaystyle \frac{8}{3}}\sin \left({\displaystyle \frac{4}{3}}x-{\displaystyle \frac{\pi }{6}}\right)$.

   Pour tout réel x, $f″\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{8}{3}}\times {\displaystyle \frac{4}{3}}\times \cos \left({\displaystyle \frac{4}{3}}x-{\displaystyle \frac{\pi }{6}}\right)=-{\displaystyle \frac{32}{9}}\cos \left({\displaystyle \frac{4}{3}}x-{\displaystyle \frac{\pi }{6}}\right)$.

   D'où pour tout réel x, $$9\times f″\left(x\right)+16\times f\left(x\right)=-9\times {\displaystyle \frac{32}{9}}\cos \left({\displaystyle \frac{4}{3}}x-{\displaystyle \frac{\pi }{6}}\right)+16\times 2\cos \left({\displaystyle \frac{4}{3}}x-{\displaystyle \frac{\pi }{6}}\right)=0$$

   a.   $y″+y=0$

   b.   $16y″-9y=0$

   c.   $9y″+16y=0$

   d.   $9y″-16y=0$

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