sujet : France métropolitaine septembre 2014

correction de l'exercice 1

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée.
Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent aucun point.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante.

1. La forme exponentielle du nombre complexe $z_1=\sqrt{6}+\mathrm{i}\sqrt{6}$ est :

   • Le module du nombre complexe $z_1=\sqrt{6}+\mathrm{i}\sqrt{6}$ est : $$\left|z_1\right|=\sqrt{6+6}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$$

   • Un argument θ du nombre complexe $z_1=\sqrt{6}+\mathrm{i}\sqrt{6}$ est tel que :$$\{\begin{array}{c}\cos \mathrm{\theta }={\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{3}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\\ \sin \mathrm{\theta }={\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{3}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\end{array}$$ D'où $z_1$ a pour argument $\mathrm{\theta }={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$

   Une écriture sous forme exponentielle du nombre complexe $z_1=\sqrt{6}+\mathrm{i}\sqrt{6}$ est donc $z_1=2\sqrt{3}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{\pi }{4}}$.

   a.   $z_1=2\sqrt{3}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{\pi }{4}}$

   b.   $z_1=2\sqrt{6}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\frac{\pi }{4}}$

   c.   $z_1=6{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{\pi }{4}}$

   d.   $z_1=\sqrt{2}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{7\pi }{4}}$

2. On considère les nombres complexes $z_1=\sqrt{6}+\mathrm{i}\sqrt{6}$ et $z_2=-\sqrt{6}+\mathrm{i}\sqrt{6}$. Le nombre complexe $z_2$ est égal à :

   $$z_2=-\left(\sqrt{6}-\mathrm{i}\sqrt{6}\right)=-\overline{z_1}$$

   a.   $\overline{z_1}$

   b.   $-z_1$

   c.   $-\overline{z_1}$

   d.   $\mathrm{i}+z_1$

3. La fonction f est définie sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{x}}$. Sa courbe représentative est donnée ci-dessous.
   Le domaine du plan défini comme l'ensemble des points M de coordonnées $\left(x;y\right)$ qui vérifient $1⩽x⩽2$ et ${\displaystyle \frac{1}{x}}⩽y⩽1$ a pour aire (exprimée en unité d'aire) :

   Le domaine du plan défini comme l'ensemble des points M de coordonnées $\left(x;y\right)$ qui vérifient $1⩽x⩽2$ et ${\displaystyle \frac{1}{x}}⩽y⩽1$ est le domaine du plan compris entre la droite d'équation $y=1$, la courbe représentative de la fonction f et les droites d'équation $x=1$ et $x=1$.

   L'aire, exprimée en unité d'aire, de ce domaine est donc égale à la différence entre l'aire du carré de côté 1 et l'ntégrale de la fonction f sur l'intervalle $\left[1;2\right]$ :$$\begin{array}{ccc}1-{\displaystyle {\int }_1^2\left({\displaystyle \frac{1}{x}}\right)\mathrm{d}x}& =& 1-\left(\ln 2-\ln 1\right)\hfill \\ & =& 1-\ln 2\hfill \end{array}$$

   a.   $\ln 2$

   b.   ${\displaystyle \frac{1}{2}}$

   c. $1-\ln 2$

   d.   $1-{\mathrm{e}}^2$

4. La tangente au point d'abscisse ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ à la courbe représentative de la fonction f, définie sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{x}}$, a pour équation :

   La tangente au point d'abscisse ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ à la courbe représentative de la fonction f a pour équation :$$y=f\prime \left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)\times \left(x-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)+f\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)$$

   Or $f\prime$ est la fonction définie sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ par $f\prime \left(x\right)=-{\displaystyle \frac{1}{x^2}}$ d'où $f\prime \left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)=-4$.

   D'autre part, $f\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)=2$.

   Donc la tangente au point d'abscisse ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ à la courbe représentative de la fonction f a pour équation :$$\begin{array}{ccc}y=-4\times \left(x-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)+2& \iff & y=-4x+4\end{array}$$

   a.   $y=-4x+4$

   b.   $y=4x+4$

   c.   $y=-4x-4$

   d.   $y=4x-4$

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