sujet : France métropolitaine septembre 2014

correction de l'exercice 2

Une équipe aérospatiale se propose d'envoyer un satellite de 10 tonnes en orbite autour de la Terre par l'intermédiaire d'une fusée à un seul étage. Cette fusée a une masse à vide, c'est-à-dire sans carburant ni satellite, de 40 tonnes.
L'éjection des gaz permet à la fusée de décoller et de s'élever dans les airs jusqu'à la consommation totale du propergol, carburant contenu dans ses réservoirs. La vitesse d'éjection des gaz est $V_e=3200\mathrm{m}.{\mathrm{s}}^{-1}$.
La vitesse finale de la fusée vitesse atteinte lorsque les réservoirs sont vides, varie en fonction de la masse de propergol contenue au départ dans les réservoirs. Elle doit être de $8000\mathrm{m}.{\mathrm{s}}^{-1}$ pour permettre la mise en orbite souhaitée.
Le but de l'exercice est de déterminer la masse de propergol à mettre dans les réservoirs pour permettre cette mise en orbite du satellite.
On note x la masse, en tonnes, de propergol contenu au décollage dans les réservoirs de la fusée. La masse x est comprise entre 100 et 900 tonnes. La masse totale de la fusée est alors $\left(x+50\right)$ tonnes.
Il est établi que la vitesse finale de la fusée, $f\left(x\right)$, exprimée en $\mathrm{m}.{\mathrm{s}}^{-1}$, est donnée par $f\left(x\right)=V_e\times \left[\ln \left(x+50\right)-\ln 50\right]$ où x est un réel de l'intervalle $\left[100;900\right]$.

1. Montrer que, pour tout réel x de l'intervalle $\left[100;900\right]$, $f\left(x\right)=3200\times \ln \left(\mathrm{0,02}x+1\right)$.
   On pourra choisir l'une ou l'autre des expressions de $f\left(x\right)$ pour répondre à chacune des questions suivantes.

   $f\left(x\right)=V_e\times \left[\ln \left(x+50\right)-\ln 50\right]$ avec $V_e=3200\mathrm{m}.{\mathrm{s}}^{-1}$ d'où : $$\begin{array}{ccc}f\left(x\right)& =& 3200\times \left[\ln \left(x+50\right)-\ln 50\right]\hfill \\ & =& 3200\times \ln \left({\displaystyle \frac{x+50}{50}}\right)\hfill \\ & =& 3200\times \ln \left(\mathrm{0,02}x+1\right)\hfill \end{array}$$

   f est la fonction définie pour tout réel x de l'intervalle $\left[100;900\right]$ par $f\left(x\right)=3200\times \ln \left(\mathrm{0,02}x+1\right)$.

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2. 1. Si les réservoirs contiennent au décollage 100 tonnes de propergol, quelle sera la vitesse finale de la fusée ?

      $$f\left(100\right)=3200\times \ln 3\approx \mathrm{3515,6}$$

      Avec 100 tonnes de propergol au décollage, la vitesse finale de la fusée sera d'environ $3516\mathrm{m}.{\mathrm{s}}^{-1}$.

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   2. Avec 400 tonnes de propergol au décollage la mise en orbite sera-t-elle possible ?

      $$f\left(400\right)=3200\times \ln 9\approx \mathrm{7031,1}$$

      Avec 400 tonnes de propergol au décollage, la vitesse finale de la fusée ne permettra pas la mise en orbite du satellite.

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3. 1. Calculer la fonction dérivée $f\prime$ de la fonction f.

      $$\begin{array}{ccc}f\prime \left(x\right)& =& 3200\times {\displaystyle \frac{\mathrm{0,02}}{\mathrm{0,02}x+1}}\hfill \\ & =& {\displaystyle \frac{64}{\mathrm{0,02}x+1}}\hfill \end{array}$$

      $f\prime$ est la fonction définie pour tout réel x de l'intervalle $\left[100;900\right]$ par $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{64}{\mathrm{0,02}x+1}}$.

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   2. En déduire le sens de variation de la fonction f.

      Pour tout réel x de l'intervalle $\left[100;900\right]$, $\mathrm{0,02}x+1>0$ donc $f\prime \left(x\right)>0$.

      La dérivée $f\prime$ est positive sur l'intervalle $\left[100;900\right]$ donc la fonction f est croissante.

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4. Déterminer la masse de propergol à mettre dans les réservoirs pour permettre la mise en orbite souhaitée.

   $$\begin{array}{ccc}3200\times \ln \left(\mathrm{0,02}x+1\right)=8000& \iff & \ln \left(\mathrm{0,02}x+1\right)=\mathrm{2,5}\hfill \\ & \iff & \mathrm{0,02}x+1={\mathrm{e}}^{\mathrm{2,5}}\hfill \\ & \iff & x={\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{2,5}}-1}{\mathrm{0,02}}}=50\times \left({\mathrm{e}}^{\mathrm{2,5}}-1\right)\hfill \end{array}$$

   Comme $50\times \left({\mathrm{e}}^{\mathrm{2,5}}-1\right)\approx \mathrm{559,1}$ et que la fonction f est croissante :

   560 tonnes de de propergol sont nécessaires pour permettre la mise en orbite du satellite.

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