sujet : Antilles Guyane 2015

correction de l'exercice 1

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent de point.
Pour répondre, vous recopierez sur votre copie le numéro de la question et la seule réponse choisie.

Dans cet exercice, i désigne le nombre complexe de module 1 et d'argument ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$.

1. Le temps d'attente en minute à un péage est une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda =\mathrm{0,2}$ (exprimé en min^-1).
   En moyenne une personne attend à ce péage :

   L'espérance d'une variable aléatoire X qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda =\mathrm{0,2}$ est $$E\left(X\right)={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{0,2}}}=5$$ Soit un temps d'attente moyen à ce péage de 5 min.

   a. 2 min

   b. 5 min

   c. 10 min

   d. 15 min

2. La forme exponentielle du nombre complexe $z=-3+\mathrm{i}3\sqrt{3}$ est :

   Déterminons la forme exponentielle du nombre complexe $z=-3+\mathrm{i}3\sqrt{3}$ :

   • Le module du nombre complexe z est : $$\left|z\right|=\sqrt{{\left(-3\right)}^2+{\left(3\sqrt{3}\right)}^2}=\sqrt{36}=6$$

   • Un argument θ du nombre complexe z est tel que :$$\{\begin{array}{l}\cos \mathrm{\theta }=-{\displaystyle \frac{3}{6}}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\\ \sin \mathrm{\theta }={\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{6}}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}$$ D'où z a pour argument $\mathrm{\theta }={\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$

   Ainsi, la forme exponentielle du nombre complexe $z=6{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{2\pi }{3}}$

   a. $3{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{2\pi }{3}}$

   b. $6{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{2\pi }{3}}$

   c. $6{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\frac{2\pi }{3}}$

   d. $-6{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\frac{2\pi }{3}}$

3. On considère le complexe $z=\sqrt{2}-\mathrm{i}\sqrt{2}$. Le nombre complexe $z^2$ est égal à :

   $$\begin{array}{rcl}{z}^2& =& {\left(\sqrt{2}-\mathrm{i}\sqrt{2}\right)}^2\\ & =& {\left(\sqrt{2}\right)}^2+{\left(\mathrm{i}\sqrt{2}\right)}^2-2\times \sqrt{2}\times \mathrm{i}\sqrt{2}\\ & =& 2+2{\mathrm{i}}^2-4\mathrm{i}\\ & =& -4\mathrm{i}\end{array}$$

   a. $z^2=2$

   b. $z^2=4$

   c. $z^2=-4$

   d. $z^2=-4\mathrm{i}$

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