sujet : Antilles Guyane 2015

correction de l'exercice 5

1. Justifier que l'équation différentielle est équivalente à : $u\prime +10u=100$

   Avec $R={10}^5$, $C={10}^{-6}$ et $R=10$, la fonction u vérifie l'équation différentielle suivante :$$\begin{array}{ccccc}{10}^5\times {10}^{-6}u\prime +u=10& \iff & {10}^{-1}u\prime +u=10& \iff & u\prime +10u=100\end{array}$$

   Ainsi, la fonction u vérifie l'équation différentielle $u\prime +10u=100$

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2. 1. Déterminer la forme générale $u\left(t\right)$ des solutions de cette équation différentielle.

      Les solutions de l'équation différentielle $y\prime +ay=b$ sont les fonctions définies sur $ℝ$ par $x⟼k{\mathrm{e}}^{-ax}+{\displaystyle \frac{b}{a}}$, où k est une constante réelle quelconque.

      Les solutions sur $\left[0;+\infty \right[$ de l'équation différentielle $u\prime +10u=100$ sont les fonctions définies sur $\left[0;+\infty \right[$ par $u\left(t\right)=k{\mathrm{e}}^{-10t}+10$ où k est une constante réelle quelconque.

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   2. On considère qu'à l'instant $t=0$, le condensateur est déchargé. Parmi les solutions, déterminer l'unique fonction u tel que $u\left(0\right)=0$.

      La condition $u\left(0\right)=0$ équivaut à $k{\mathrm{e}}^0+10=0$ d'où $k=-10$

      La fonction u est définie sur $\left[0;+\infty \right[$ par $u\left(t\right)=10-10{\mathrm{e}}^{-10t}$

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   3. Déterminer en justifiant la réponse, la limite en $+\infty$ de la fonction u ainsi obtenue. En donner une interprétation.

      $\underset{t\to +\infty }{\lim }-10t=-\infty$ et $\underset{X\to -\infty }{\lim }{\mathrm{e}}^X=0$, alors $\underset{t\to +\infty }{\lim }{\mathrm{e}}^{-10t}=0$ et, $\underset{t\to +\infty }{\lim }10-10{\mathrm{e}}^{-10t}=10$

      Ainsi, $\underset{t\to +\infty }{\lim }u\left(t\right)=10$. À partir d'un certain temps, la tension aux bornes du condensateur est très proche de 10 volts.

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3. On donne ci-dessous la représentation graphique de la fonction u qui vient d'être obtenue à la question 2. b. avec les unités suivantes : 1 unité pour 1 seconde sur l'axe des abscisses et 1 unité pour 1 volt sur l'axe des ordonnées. On appelle T le temps de charge en seconde pour que $u\left(T\right)$ soit égal à 95 % de E.

   Charge du condensateur en fonction du temps.

   1. Déterminer graphiquement le temps de charge T.

      Le temps de charge T est d'environ 0,3 secondes.

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   2. Retrouver, par le calcul, le résultat précédent.

      Le temps de charge T est solution de l'équation $$\begin{array}{rcl}10-10{\mathrm{e}}^{-10t}=\mathrm{0,95}\times 10& \iff & -10{\mathrm{e}}^{-10t}=-\mathrm{0,5}\\ & \iff & {\mathrm{e}}^{-10t}=\mathrm{0,05}\\ & \iff & -10t=\ln \left(\mathrm{0,05}\right)\\ & \iff & t={\displaystyle \frac{\ln 20}{10}}\approx \mathrm{0,3}\end{array}$$

      Le temps de charge en seconde pour que $u\left(T\right)$ soit égal à 95 % de E est $T={\displaystyle \frac{\ln 20}{10}}$ soit environ 0,3 secondes.

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4. Sans modifier les valeurs respectives de E et de C, déterminer la valeur de R afin que le temps de charge T soit multiplié par 2.

   • Soit v la tension exprimée en volt aux bornes du condensateur, la fonction v vérifie l'équation différentielle suivante :$$\begin{array}{ccc}R\times {10}^{-6}v\prime +v=10& \iff & v\prime +{\displaystyle \frac{{10}^6}{R}}v={\displaystyle \frac{{10}^7}{R}}\end{array}$$

   • Les solutions de cette équation différentielle sont les fonctions définies sur $\left[0;+\infty \right[$ par $v\left(t\right)=k{\mathrm{e}}^{-\frac{{10}^6}{R}t}+10$ où k est une constante réelle quelconque.

   • La condition $v\left(0\right)=0$ équivaut à $k{\mathrm{e}}^0+10=0$ d'où $k=-10$. Par conséquent, la fonction v est définie sur $\left[0;+\infty \right[$ par $v\left(t\right)=10-10{\mathrm{e}}^{-\frac{{10}^6}{R}t}$

   • Le temps de charge T est multiplié par 2 pour R solution de l'équation $$\begin{array}{rcl}10-10{\mathrm{e}}^{-\frac{{10}^6}{R}\times 2\times T}=10-10{\mathrm{e}}^{-10\times T}& \iff & -{\displaystyle \frac{2\times {10}^6\times T}{R}}=-10\times T\\ & \iff & {\displaystyle \frac{2\times {10}^5}{R}}=1\\ & \iff & R=2\times {10}^5\end{array}$$

   Le temps de charge T estt multiplié par 2 avec une résistance R de $2\times {10}^5\mathrm{\Omega }$

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