sujet : Antilles Guyane 2015

correction de l'exercice 4

Étude du déficit d'une multinationale

1. 1. Montrer que $u_1=\mathrm{0,914}{u}_0$.

      En 2015 le montant du déficit baisse de 8,6 % soit : $$u_1=u_0\times \left(1-{\displaystyle \frac{\mathrm{8,6}}{100}}\right)=u_0\times \mathrm{0,914}$$

      Ainsi, $u_1=\mathrm{0,914}{u}_0$.

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   2. Si l'équipe de direction tient ses engagements, quel sera le déficit de la multinationale en 2016 ?

      Après deux baisses successives de 8,6 %, en 2016 le montant du déficit serait de :$$u_2=15\times \mathrm{0,914}\times \mathrm{0,914}\approx \mathrm{12,531}$$

      En 2016, le déficit serait d'environ 12,531 millions d'euros.

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   3. Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est géométrique, puis exprimer $u_n$ en fonction de n.

      Pour tout entier n on a : $u_{n+1}=u_n\times \mathrm{0,914}$ donc $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,914.

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      $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,914 et de premier terme $u_0=15$ donc :

      pour tout entier n, $u_n=15\times {\mathrm{0,914}}^n$.

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2. 1. Résoudre l'inéquation suivante d'inconnue l'entier naturel n : ${\mathrm{0,914}}^n⩽{\displaystyle \frac{1}{3}}$

      $$\begin{array}{rcll}{\mathrm{0,914}}^n⩽{\displaystyle \frac{1}{3}}& \iff & \ln \left({\mathrm{0,914}}^n\right)⩽\ln \left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)& \\ & \iff & n\ln \mathrm{0,914}⩽-\ln 3& \\ & \iff & n⩾-{\displaystyle \frac{\ln 3}{\ln \mathrm{0,914}}}& \ln \mathrm{0,914}<0\end{array}$$

      Comme $-{\displaystyle \frac{\ln 3}{\ln \mathrm{0,914}}}\approx \mathrm{12,2}$ alors :

      les solutions entières de l'inéquation ${\mathrm{0,914}}^n⩽{\displaystyle \frac{1}{3}}$ sont les entiers $n⩾13$.

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   2. Quand l'engagement de l'équipe de direction, à savoir ramener le déficit de la multinationale au-dessous des 5 millions d'euros, sera-t-il atteint ?

      On cherche le plus petit entier n solution de l'inéquation $$\begin{array}{ccccc}15\times {\mathrm{0,914}}^n⩽5& \iff & {\mathrm{0,914}}^n⩽{\displaystyle \frac{1}{3}}& \text{soit}& n⩾13\end{array}$$

      Le déficit de la multinationale sera inférieur à 5 millions d'euros à partir de 2027.

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3. On considère l'algorithme ci-dessous qui permet de retrouver le résultat de la question précédente.

   1. Recopier et compléter les lignes en pointillé afin que l'algorithme renvoie l'année à partir de laquelle le déficit de cette multinationale sera ramené en dessous de 5 millions d'euros.

      Variables	N un entier naturel Q et U deux nombres réels.
      Début	N prend la valeur 0 Q prend la valeur 0,914 U prend la valeur 15 Tant que $U>5$ faire   N prend la valeur $N+1$   U prend la valeur $\mathrm{0,914}\times U$ Fin Tant que Afficher $2014+N$
      Fin

   2. On suppose l'algorithme complété.
      Proposer une modification de l'algorithme afin que celui-ci affiche le montant du déficit de cette multinationale chaque année jusqu'à ce que celui-ci soit ramené au-dessous de 5 millions d'euros.

      Variables	N un entier naturel Q et U deux nombres réels.
      Début	N prend la valeur 0 Q prend la valeur 0,914 U prend la valeur 15 Tant que $U>5$ faire   N prend la valeur $N+1$   U prend la valeur $\mathrm{0,914}\times U$   Afficher "Déficit en "&$\left(2014+N\right)$&" = "&U Fin Tant que
      Fin

4. 1. Calculer la somme des déficits sur onze ans à partir de l'année 2014 comprise, c'est-à-dire : $u_0+u_1+u_2+\cdots +u_{10}$

      $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,914 et de premier terme $u_0=15$ donc la somme des 11 premiers termes de cette suite est :$$u_0+u_1+u_2+\cdots +u_{10}=15\times {\displaystyle \frac{1-{\mathrm{0,914}}^{11}}{1-\mathrm{0,914}}}\approx \mathrm{109,555}$$

      En 11 ans, le déficit cumulé est d'environ 109,555 millions d'euros.

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   2. Construire un algorithme qui donne cette somme en sortie.

      Variables	N un entier naturel S et U deux nombres réels.
      Initialisation	U prend la valeur 15 S prend la valeur 15
      Traitement	Pour N allant de 1 à 10   U prend la valeur $\mathrm{0,914}\times U$   S prend la valeur $S+U$ Fin Pour
      Sortie	Afficher S

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