sujet : Antilles Guyane 2015

correction de l'exercice 2

Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante.
Dans cet exercice, ln désigne la fonction logarithme népérien.

partie a

On considère la fonction f définie sur $\left]0;+\infty \right[$ par : $f\left(x\right)=ax+b\ln \left(x\right)+1$ où a et b sont deux nombres réels.
$C_f$ est la représentation graphique de la fonction f dans un repère orthonormé.
Les points A et E sont deux points de la courbe $C_f$.
Le point A a pour coordonnées $\left(1;2\right)$ et le point E a pour abscisse 4.
La tangente à $C_f$ au point E est horizontale.

1. Déterminer $f\left(1\right)$ et $f\prime \left(4\right)$ où $f\prime$ désigne la fonction dérivée de f.

   • Le point A de coordonnées $\left(1;2\right)$ appartient à la courbe $C_f$ d'où $f\left(1\right)=2$

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   • La tangente à $C_f$ au point E d'abscisse 4 est horizontale d'où $f\prime \left(4\right)=0$

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2. Calculer $f\prime \left(x\right)$ puis exprimer $f\prime \left(4\right)$ en fonction de a et b.

   La dérivée $f\prime$ est la fonction définie sur $\left]0;+\infty \right[$ par : $f\prime \left(x\right)=a+{\displaystyle \frac{b}{x}}$. On en déduit que $f\prime \left(4\right)=a+{\displaystyle \frac{b}{4}}$.

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3. Déterminer les valeurs de a et b.

   • $f\left(1\right)=2$ d'où $a+1=2$

   • $f\prime \left(4\right)=0$ d'où $f\prime \left(4\right)=a+{\displaystyle \frac{b}{4}}=0$

   • Ainsi, a et b sont solutions du système :$$\begin{array}{rcl}\{\begin{array}{l}a+1=2\\ a+{\displaystyle \frac{b}{4}}=0\end{array}& \iff & \{\begin{array}{l}a=1\\ b=-4\end{array}\end{array}$$

   La fonction f est définie sur $\left]0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)=x-4\ln \left(x\right)+1$.

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partie b

Soit la fonction f définie sur $\left]0;+\infty \right[$ par : $f\left(x\right)=x-4\ln \left(x\right)+1$

1. Déterminer $\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)$ en justifiant la réponse. Donner une interprétation graphique du résultat.

   $\underset{x\to 0}{\lim }\ln \left(x\right)=-\infty$ alors, par somme des limites, $\underset{x\to 0}{\lim }x-4\ln \left(x\right)+1=+\infty$

   $\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)=+\infty$ donc la courbe $C_f$ admet pour asymptote la droite d'équation $x=0$.

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2. Déterminer $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)$ en justifiant la réponse (on pourra factoriser l'expression de $f\left(x\right)$ par x).

   Pour tout réel x strictement positif on a : $$f\left(x\right)=x-4\ln \left(x\right)+1=x\times \left(1-{\displaystyle \frac{4\ln \left(x\right)}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{x}}\right)$$

   Comme $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{\ln \left(x\right)}{x}}=0$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{x}}=0$ on en déduit que $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(1-{\displaystyle \frac{4\ln \left(x\right)}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{x}}\right)=1$. D'où par produit des limites, $\underset{x\to +\infty }{\lim }x\times \left(1-{\displaystyle \frac{4\ln \left(x\right)}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{x}}\right)=+\infty$.

   $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=+\infty$.

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3. Calculer la dérivée $f\prime$ de f. En déduire le tableau des variations de f.

   • La dérivée $f\prime$ est la fonction définie sur $\left]0;+\infty \right[$ par : $f\prime \left(x\right)=1-{\displaystyle \frac{4}{x}}$.

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   • Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée.

     Comme pour tout réel x strictement positif : $$f\prime \left(x\right)=1-{\displaystyle \frac{4}{x}}={\displaystyle \frac{x-4}{x}}$$ Le tableau des variatons de la fonction f est :

     x	0		4		$+\infty$
     Signe de $f\prime \left(x\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
     Variations de f	$+\infty$		$5-4\ln 4$		$+\infty$

partie c

1. Calculer la dérivée $G\prime$ de G.

   Pour tout réel x strictement positif on a : $$G\prime \left(x\right)=\ln \left(x\right)+x\times {\displaystyle \frac{1}{x}}-1=\ln \left(x\right)$$

   La dérivée de la fonction G est la fonction $G\prime$ définie sur $\left]0;+\infty \right[$ par : $G\prime \left(x\right)=\ln \left(x\right)$.

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2. En déduire une primitive F de la fonction f donnée dans la partie B sur $\left]0;+\infty \right[$.

   D'après la question précédente, G est une primitive de la fonction ln sur $\left]0;+\infty \right[$

   Une primitive de la fonction f est la fonction F définie sur $\left]0;+\infty \right[$ par : $$F\left(x\right)={\displaystyle \frac{x^2}{2}}-4\times \left(x\ln \left(x\right)-x\right)+x={\displaystyle \frac{x^2}{2}}-4x\ln \left(x\right)+5x$$

   F est la fonction défine sur $\left]0;+\infty \right[$ par $F\left(x\right)={\displaystyle \frac{x^2}{2}}-4x\ln \left(x\right)+5x$.

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3. Déterminer la valeur exacte de l'aire de la pièce en unité d'aire ; puis en donner une valeur arrondie à 10^-2.

   La fonction f est strictement décroissante sur l'intervalle $\left]0;4\right]$ et $f\left(2\right)=3-4\ln 2\approx \mathrm{0,227}$ donc sur l'intervalle $\left]0;2\right]$ la fonction f est positive.

   Sur l'intervalle $\left[1;2\right]$ la fonction f est continue et positive donc l'aire, en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe $C_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=1$ et $x=2$ est égale à l'intégrale :$$\begin{array}{rcl}{\displaystyle {\int }_1^{2}f\left(x\right)\mathrm{d}x}& =& F\left(2\right)-F\left(1\right)\\ & =& \left(2-8\ln \left(2\right)+10\right)-\left({\displaystyle \frac{1}{2}}+5\right)\\ & =& {\displaystyle \frac{13}{2}}-8\ln \left(2\right)\approx \mathrm{0,95}\end{array}$$

   L'aire de la pièce est égale à ${\displaystyle \frac{13}{2}}-8\ln \left(2\right)u.a$ soit environ 0,95 unités d'aire.

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