Baccalauréat technologique 2015 MATHÉMATIQUES Série STI2D

sujet : Nouvelle Calédonie novembre 2015

correction de l'exercice 1

Jusqu'à présent Pierre n'a encore jamais réussi à économiser un seul euro. Pour le responsabiliser dans la gestion de son argent de poche, ses parents décident de lui verser 30 euros tous les premiers du mois.
Pierre décide que pour s'offrir le téléphone de ses rêves qui coûte 150 euros, il ne dépensera chaque mois que 20 % de son capital accumulé.
Le premier versement lui a été fait au 1^er janvier 2015.

De quelle somme Pierre disposera-t-il encore au soir du 31 janvier 2015 ?
Au cours du mois de janvier 2015, Pierre a dépensé 20 % de son capital de 30 euros. Au soir du 31 janvier 2015 il disposera donc de 80 % de son capital soit : $30 \times 0,8 = 24$
Au soir du 31 janvier 2015, Pierre disposera de 24 euros.
Soit $u_{n}$ le capital dont dispose Pierre juste après le n-ième versement. Ainsi $u_{1}$ vaut 30 et $u_{5}$ correspond au capital acquis par Pierre le 1^er mai 2015.
1. Montrer que $u_{2} = 54$ .
  $\begin{matrix} u_{2} = u_{1} + 30 & soit & u_{2} = 24 + 30 = 54 \end{matrix}$
  Ainsi, $u_{2} = 54$ .
2. Justifier que $u_{n + 1} = 0,8 u_{n} + 30$ .
  Au cours du n-ième mois, Pierre dépense 20 % de son capital. À la fin du n-ième mois il disposera donc de 80 % de son capital $u_{n}$ et le premier du mois suivant, ses parents lui verseront 30 euros donc :
  Pour tout nombre entier naturel n strictement positif, on a : $u_{n + 1} = 0,8 u_{n} + 30$ .
3. Recopier et compléter l'algorithme A suivant pour qu'il affiche le capital acquis le 1^er avril 2015.
  initialisation :
  Affecter à i la valeur 1
  Affecter à u la valeur 30
  traitement :
  Tant que $i < 4$
  Affecter à u la valeur $0,8 u + 30$
  Affecter à i la valeur $i + 1$
  Fin Tant que
  Sortie
  Afficher u
Recopier et compléter le tableau suivant donnant des termes de la suite $(u_{n})$ et conjecturer la limite de cette suite.
n 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
$u_{n}$ 148,62 148,89 149,11 149,29 149,43 149,55 149,64 149,71 149,77 149,81
La suite $(u_{n})$ semble converger vers 150.

Soit l'algorithme B suivant:

initialisation :	Affecter à i la valeur 1 Affecter à u la valeur 30 Saisir la valeur de p
traitement :	Tant que $\| u - 150 \| > p$ Affecter à u la valeur $0,8 u + 30$ Affecter à i la valeur $i + 1$ Fin Tant que
Sortie	Afficher i

Comment utiliser cet algorithme B pour savoir à quel moment Pierre disposera d'au moins 149,90 euros ?

$| 149,90 - 150 | = 0,1$

Pour savoir à quel moment Pierre disposera d'au moins 149,90 euros, il suffit de saisir la valeur 0,1 pour p.

Pierre se rend compte qu'avec cette gestion de son argent de poche il ne pourra jamais s'offrir le téléphone de ses rêves. Exposez un plan de gestion de l'argent de poche qui permette à Pierre d'effectuer son achat dans l'année sans demander plus d'argent à ses parents.

Dans l'année, Pierre reçoit de ses parents 12 versements de 30 euros soit 360 euros. S'il souhaite disposer de 150 euros avant le 31 décembre 2015, la somme maximale D qu'il pourra dépenser chaque mois est solution de l'inéquation : $\begin{array}{rcl} 360 - 12 \times D ⩾ 150 & \Leftrightarrow & - 12 \times D ⩾ - 210 \\ \Leftrightarrow & D ⩽ \frac{210}{12} \end{array}$

Pierre pourra effectuer son achat dans l'année sans demander plus d'argent à ses parents en dépensant moins de 17,50 euros par mois.

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n	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
$u_{n}$	148,62	148,89	149,11	149,29	149,43	149,55	149,64	149,71	149,77	149,81